Произведение двух дробей
Калькулятор умножает обыкновенные дроби a/b и c/d: числители между собой, знаменатели между собой, затем сокращает. Раздел: арифметика.
Не сложение с общим знаменателем. Не процент от числа: «взять 1/2 от 2/3» как раз есть умножение 1/2 · 2/3, но процентная страница работает с P% и целым, не с двумя дробями в полях a, b, c, d.
Тест: 1/2 · 2/3 = 1/3. Второй: 3/4 · 5/7 = 15/28 — уже несократима. Нулевой знаменатель запрещён.
Целое как дробь со знаменателем 1: 5 · 2/3 = 5/1 · 2/3 = 10/3. Смешанное сначала переведите в неправильную.
Числители и знаменатели
a/b · c/d = (ac)/(bd)
Правило «крест-накрест» здесь не нужно — оно для пропорции. Умножение дробей — самое прямое из четырёх действий: нет поиска общего знаменателя.
Обратная дробь к a/b есть b/a при a ≠ 0. Произведение дроби на обратную равно 1. Это мост к делению.
Отрицательный множитель: знак произведения как у обычных чисел. −1/2 · 2/3 = −1/3. Два минуса дают плюс.
Сокращение до и после
Можно сократить a с d и b с c до умножения: в 1/2 · 2/3 двойки накрест. Калькулятор сокращает после произведения — ответ тот же. В тетради сокращение заранее уменьшает числа.
НОД числителя и знаменателя результата — автоматический шаг. 2/6 не оставляют.
Как пользоваться
Четыре целых поля. Знаменатели не ноль. Ответ p/q. Три множителя: умножьте первые два, затем на третий.
Проверка десятичными: 0,5 · 2/3 ≈ 0,333, и 1/3 ≈ 0,333.
Примеры
С сокращением. 1/2 · 2/3 = 1/3.
Без сокращения по дороге. 3/4 · 5/7 = 15/28.
На целое. 2/5 · 3 = 6/5.
Единица. 7/8 · 8/7 = 1.
Ноль. 0/5 · 3/4 = 0.
Минус. −3/4 · 2/9 = −1/6 после сокращения на 6.
Доля площади. Половина от двух третей листа — 1/3 листа, не 3/5.
Не сумма. 1/2 + 2/3 = 7/6 на странице сложения.
Доля от доли. Взять треть от половины яблока: 1/3 · 1/2 = 1/6. В речи «от» почти всегда умножение, не сложение. «Треть плюс половина» было бы 5/6 — другой вопрос.
Сокращение накрест до умножения. 4/9 · 3/8: четвёрка с восьмёркой даёт 1/9 · 3/2 = 3/18 = 1/6. Калькулятор получит 12/72 = 1/6. Ответ один, путь в тетради короче, если сокращать сразу.
Три множителя. 1/2 · 2/3 · 3/4. Сначала 1/2 · 2/3 = 1/3, затем 1/3 · 3/4 = 1/4. Заметьте цепочку сокращений: в произведении всех трёх числитель 1·2·3, знаменатель 2·3·4, всё сокращается до 1/4.
Площадь прямоугольника. Стороны 2/3 и 3/5 дают площадь 2/5. Это не площадь прямоугольника в метрах — там единицы длины. Здесь только числа. Если стороны в метрах, сначала арифметика дробей, единицы допишите сами.
Минус и минус. (−2/3)·(−3/4) = 6/12 = 1/2. Два минуса. Один минус оставляет отрицательное произведение.
Не сложение и не доля «от»
«50% от 80» — процент от числа. «1/2 от 80» можно как 1/2 · 80/1 = 40, уже здесь. Не смешивайте поля процентов с числителем a.
Прямая пропорциональность y = kx — другая модель, хотя k может быть дробью.
Ещё задачи на умножение
2/3 · 3/5 = 2/5 после сокращения троек. 5/6 · 9/10 = 45/60 = 3/4. 7/8 · 1/7 = 1/8: семёрки сократились.
Целое и дробь: 6 · 2/9 = 12/9 = 4/3. 12 · 5/8 = 60/8 = 15/2. Не умножайте «6·2 и отдельно 9» без черты.
Четыре множителя в два прохода: (1/2·2/3)·(3/4·4/5) = (1/3)·(3/5) = 1/5. Видно, как лестница сокращений съедает все промежуточные.
Геометрический смысл без единиц: масштаб карты 1/10000 — уже дробь, не это умножение двух произвольных a/b и c/d. Здесь только школьное произведение.
Проверка обратной: (p/q) · (b/a) должно дать c/d, если умножали a/b на c/d? Нет: (a/b·c/d)·(b/a) = c/d. Так ловят опечатку в ответе.
Ещё числа: 8/15 · 25/16. Сократите 8 с 16 и 15 с 25: 1/3 · 5/2 = 5/6. Без сокращения 200/240 = 5/6. 9/4 · 8/27 = 2/3 после девяток и четвёрок.
Нулевой числитель: 0/4 · 7/9 = 0. Умножение на ноль. Не путайте с запретом нулевого знаменателя. Произведение 2/3 · 0/5 тоже ноль.
Площадь «в долях листа»: лист приняли за 1, ширина 3/4, высота 2/5, произведение 3/10 листа. Это не квадратные метры и не геометрия прямоугольника с длинами сторон в СИ — только доли единицы. Если стороны 3/4 м и 2/5 м, площадь 3/10 м² — единицы дописываете вы. Проверка: 0,75 · 0,4 = 0,3 = 3/10.
Типичные ошибки
- Искать общий знаменатель, как при сложении.
- Умножать только числители, знаменатель оставлять «первый».
- Путать с делением: 1/2 : 2/3 = 3/4, а произведение 1/3.
- Не сокращать 2/6.
- Складывать смешанные без перевода в неправильные.
Частые вопросы
- Как умножить дроби a/b и c/d?
- Перемножьте числители и знаменатели: (a c)/(b d), затем сократите на НОД.
- Нужен ли общий знаменатель?
- Нет. Общий знаменатель нужен для сложения. Умножение — попарно числители и знаменатели.
- Почему 1/2 · 2/3 = 1/3?
- Несокращённо 2/6, НОД = 2, после сокращения 1/3. Можно заранее сократить двойки.
- Что если знаменатель ноль?
- Дробь не определена, расчёт останавливается.
- Как разделить дроби?
- Умножьте на обратную: деление дробей.
- Связь с отношением?
- Отношение a/b — одно частное. Произведение двух отношений — уже эта страница.