Остаток степени
Возведение в степень по модулю считает y = aᵉ mod m: остаток от aᵉ при делении на m. Раздел: теория чисел.
Обычная степень без модуля раздувается. Обратный элемент — другая страница. Одно деление без степени — остаток.
Тесты: 2¹⁰ mod 1000 = 24; 3⁵ = 243, 243 = 34·7 + 5, остаток 5; любая a⁰ даёт 1 по модулю 11.
y = aᵉ mod m
y = aᵉ mod m
Калькулятор не строит полное aᵉ, если оно огромно: двоичное возведение умножает остатки. Показатель целый ≥ 0, модуль ≥ 2. Основание может быть отрицательным: его сначала приводят в 0…m−1.
Как пользоваться
Введите основание, показатель и модуль. Проверка на малых числах: посчитайте степень на странице степени и возьмите остаток.
Примеры
1024. 2¹⁰ mod 1000 = 24.
По семёрке. 3⁵ mod 7 = 5.
Нулевой показатель. 5⁰ mod 11 = 1.
Отрицательный e. Ошибка.
Ещё степени
2³ mod 5 = 3, потому что 8 − 5 = 3. 2⁴ mod 5 = 1 — порядок 4. Дальше степени двойки по модулю 5 циклически 2, 4, 3, 1.
10² mod 7: 100 / 7 = 14*7=98, остаток 2. Не «отбросить старшие разряды» без понимания модуля.
Малая теорема Ферма: a^{p−1} ≡ 1 (mod p) при простом p и a не кратном p. 3⁴ mod 5 = 81 mod 5 = 1. Это проверка, калькулятор не требует простоты модуля.
Теорема Эйлера с φ(m): a^{φ(m)} ≡ 1 (mod m) при взаимной простоте. Для m = 10, φ = 4, 3⁴ = 81 ≡ 1.
Не решайте ax ≡ 1 степенью, если нужен обратный: откройте обратный. Связь a^{φ−1} ≡ обратный — обходной путь.
a = −1, e = 3, m = 5: (−1)³ = −1 ≡ 4. Знак учитывается.
Большой показатель 2¹⁰⁰ mod 3: 2 ≡ −1, (−1)¹⁰⁰ = 1. Калькулятор не нуждается в подсказке, но подсказка проверяет ответ.
Не путайте с показательным уравнением a·bˣ = c в действительных числах: там логарифм, не остаток.
0ᵉ при e > 0 даёт 0. 0⁰ на странице принято как 1 (как степень). Модуль не меняет 1.
Китайская теорема собирает систему остатков, не возводит в степень. Если задача «найдите 2¹⁰⁰ mod 15», можно по модулям 3 и 5, затем КТО — или сразу эта страница с m = 15.
Проверка: y должно быть в 0…m−1. Если выписали 1024, забыли модуль.
Итог: три целых, один остаток степени. Отрицательный показатель не сюда. Полная степень без mod — соседняя алгебра.
Ещё: 7² mod 10 = 9, 7³ mod 10 = 3, 7⁴ mod 10 = 1. Последняя цифра степени семёрки циклится каждые 4. Сумма цифр тут ни при чём — сумма цифр 49 это 13, не остаток.
2¹⁰ mod 7: 1024. 7·146 = 1022, остаток 2. Либо 2³ ≡ 1 (mod 7)? 8 ≡ 1, да, тогда 2¹⁰ = 2⁹·2 = (2³)³·2 ≡ 1·2 = 2. Два пути, один ответ.
Основание больше модуля: 17² mod 5. Сначала 17 ≡ 2, 2² = 4. Калькулятор это делает сам. Не обязательно уменьшать a вручную, но проверка быстрее.
Не возводите в степень по модулю, если задача «2ˣ = 16» в действительных: x = 4 на показательном уравнении или через логарифм.
a = 1, любой e: 1. a = −2, e = 3, m = 9: −8 ≡ 1 (mod 9). Проверка: −8 + 9 = 1.
Школьные формулировки
«Найдите последнюю цифру 7¹⁰⁰» — это 7¹⁰⁰ mod 10. Показатель 100, модуль 10. Цикл последних цифр семёрки длина 4, 100 делится на 4, цифра 1. Калькулятор даёт 1 без таблицы.
«Остаток при делении 2³⁰ на 13» — прямо эта страница. Не раскрывайте 2³⁰ столбиком. Не открывайте степень в надежде увидеть все знаки.
Задача «найдите 3⁻¹ mod 7» — не степень. Отрицательный показатель страница отвергнет. Нужен обратный: 5, потому что 15 ≡ 1 (mod 7).
Проверка малым циклом: 2¹, 2², 2³, 2⁴ по модулю 5 это 2, 4, 3, 1. Дальше повтор. 2¹⁰⁰ mod 5 = 2^{4·25} ≡ 1²⁵ ≡ 1. Калькулятор на 2, 100, 5 должен дать 1. Если вышло 0, основание кратно модулю — другой сюжет: 5² mod 5 = 0.
Не смешивайте с биномом (1+1)ⁿ: там сумма без модуля. Остаток 2ⁿ mod m — эта страница при a=2.
Последняя цифра 9ⁿ: цикл 9, 1. Нечётный n → 9, чётный → 1. 9⁷ mod 10 = 9. Подайте a=9, e=7, m=10. Не открывайте сумму цифр 9⁷ — это другое число.
Модуль 8, основание 2, показатель ≥ 3: 2³=8≡0, дальше нули. 2¹⁰ mod 8 = 0. Не пугайтесь нуля: степень кратна модулю.
Сравнение с обычной степенью: 3⁵ = 243 на странице степени, 243 mod 7 = 5 здесь. Две страницы, одна проверка. Если степень не влезает в голову, оставайтесь только здесь.
Показатель ноль уже проверен тестом. Показатель один: a¹ mod m = a после приведения. Для a=20, m=7 получите 6. Это тот же остаток без степени, страница всё равно принимает e=1.
Типичные ошибки
- Считать aᵉ и забыть взять остаток.
- Подавать отрицательный показатель.
- Путать с обратным элементом.
- Ставить модуль 1.
- Ожидать вещественный логарифм.
Частые вопросы
- Как считать a в степени e по модулю m?
- y = aᵉ mod m — остаток от деления обычной степени на m. 2¹⁰ = 1024, по модулю 1000 это 24.
- Чем это отличается от калькулятора степени?
- Степень даёт полное aⁿ. Здесь сразу остаток, без гигантского числа в ответе.
- Почему показатель не может быть отрицательным?
- Отрицательная степень — это обратный элемент. Сначала обратный по модулю, затем возводите его.
- Что при показателе 0?
- a⁰ ≡ 1 (mod m) при m ≥ 2. Даже для a = 0 на этой странице принято 1.
- Нужен ли остаток отдельно?
- Одно деление a = bq + r — остаток или частное. Здесь степень, потом остаток.
- Можно ли m = 1?
- Нет. Модуль ≥ 2.