Неподвижный груз на двух нитях
С потолка сходятся две невесомые нити, в узле висит груз. Система в покое: сумма проекций сил ноль. Сила тяжести mg вниз, натяжения вдоль нитей вверх-вбок. Раздел: динамика.
Нити не растягиваются, блок не крутится, груз не едет. Если обрезать одну нить, оставшаяся должна стать вертикальной, иначе начнётся движение — уже другая задача.
T₁ и T₂
T₁ = mg sin β / sin(α + β)
Горизонталь: T₁ sin α = T₂ sin β. Вертикаль: T₁ cos α + T₂ cos β = mg. Решение этой пары и есть формулы калькулятора. Обратный ход восстанавливает массу по T₁ и углам.
g стандартное или 10. Натяжения в ньютонах. Нулевое натяжение допустимо как ответ, если соответствующий угол противоположной нити ноль: весь вес взяла вертикальная нить.
Углы от вертикали
α — угол между первой нитью и вертикалью, β — между второй и вертикалью. Не от потолка и не «от горизонта, как склон». Если в чертеже дан угол с потолком 60°, от вертикали остаётся 30°. Подставить 60° в эти формулы — чужой ответ.
Симметрия α = β даёт T₁ = T₂. Чем шире разводите нити, тем больше натяжение при том же весе: горизонтали гасят друг друга, вертикали должны по-прежнему набрать mg.
Не машина Атвуда
Два груза через блок ускоряются, натяжение одно на нити, формула a = g(m₂ − m₁)/(m₁ + m₂). Здесь груз один, нитей две, a = 0. Не подставляйте массы двух гирь в α и β.
Второй закон F = ma для узла даёт ноль равнодействующей. Сложение двух натяжений «по Пифагору» без углов не заменяет проекции, если нити не перпендикулярны. Трение о потолок калькулятор не вводит: идеальные шарниры.
Как пользоваться
Выберите T₁, T₂ или массу. Для натяжений нужны оба угла и масса. Углы 0–89°. Оба нуля — ошибка деления. Соседи: вес mg, проекции, Атвуд, если в задаче всё-таки блок и две гири.
Длины нитей в формулу не входят: важны только углы в равновесии. Если нити упругие, углы сами зависят от растяжения — школьная идеализация это отбрасывает. Три нити в пространстве калькулятор не закрывает.
Гирлянда между столбами — распределённый вес, не точечный груз в одной точке. Кабель с заметной массой провисает по цепной линии. Сюда только точечная масса в узле двух прямых невесомых нитей.
Пример: 30° и 30°
m = 1 кг, g = 10, α = β = 30°. sin 30° = 1/2, sin 60° = √3/2. T₁ = T₂ = 10 · (1/2) / (√3/2) = 10/√3 ≈ 5,77 Н. Вес 10 Н, сумма вертикалей 2 · 5,77 · cos 30° = 2 · 5,77 · √3/2 = 10 Н — сошлось. Каждое натяжение меньше веса, но больше половины: 5,77 > 5.
Обратный ход по T₁ ≈ 5,77 Н возвращает массу 1 кг. Если α = 0°, β = 60°, первая нить вертикальна: T₂ должна погасить только горизонталь первой, а при α = 0 горизонтали первой нет, T₂ = 0, T₁ = mg. Геометрия «одна нить вниз, вторая в сторону без нагрузки» вырождена, но формула это показывает.
Шире угол: α = β = 60°, sin 60° = √3/2, sin 120° = √3/2, T = mg. Каждое натяжение равно весу. Ещё шире к 90° знаменатель sin(α+β) мал, натяжения растут без разумного предела: нити почти горизонтальны и «рвут» узел. Калькулятор угол 90° не принимает.
Проверка горизонтали при 30°+30°: T sin 30° = 5,77 · 0,5 ≈ 2,89 Н с каждой стороны, равны, узел не едет вбок. Это те самые катеты, которые можно было бы сложить с вертикалями на странице проекций, но незачем: формулы уже решены.
Люстра на трёх цепях в пространстве — уже три неизвестных натяжения и три угла, эта страница не закроет. Верёвка через блок с двумя гирями снова Атвуд: там нить одна. Если в условии «нить перекинута» и грузы едут — не статика двух тросов. Если «подвешен в точке схода двух нитей и не движется» — эта формула.
Вес 50 Н при α = 20° и β = 40°: T₁ = 50 sin 40° / sin 60°, T₂ = 50 sin 20° / sin 60°. sin 60° = √3/2 ≈ 0,866, sin 40° ≈ 0,643, sin 20° ≈ 0,342. T₁ ≈ 37,1 Н, T₂ ≈ 19,7 Н. Ближняя к вертикали нить (меньший угол) берёт большее натяжение: она «более вертикальна» и несёт вертикаль. Проверка: 37,1 cos 20° + 19,7 cos 40° ≈ 34,9 + 15,1 = 50 Н.
Типичные ошибки
- Откладывать углы от потолка и подставлять их сюда без пересчёта.
- Поделить вес пополам при косых нитях.
- Взять формулы машины Атвуда.
- Сложить T₁ и T₂ как катеты и назвать сумму весом.
- Искать ускорение груза: в модели его нет.
- Подставить длины нитей вместо углов.
Частые вопросы
- Какие формулы натяжения двух нитей?
- T₁ = mg sin β / sin(α + β), T₂ = mg sin α / sin(α + β). Углы α и β отсчитываются от вертикали. Груз неподвижен.
- Почему натяжения больше половины веса?
- Нити под углом. Вертикальные составляющие в сумме дают mg, а сами модули T больше этих составляющих. При α = β = 30° каждое натяжение mg / √3, не mg/2.
- Это машина Атвуда?
- Нет. Машина Атвуда — два груза через блок, есть ускорение. Здесь один груз, две нити к опорам, ускорение ноль.
- Что если оба угла нулевые?
- Две вертикальные нити в одной точке вырождаются: sin(α + β) = 0, модель не делит вес. Нужна одна нить или другая геометрия.
- Можно ли найти массу по натяжению?
- Да, по T₁: m = T₁ sin(α + β) / (g sin β), если sin β не ноль.
- Нужны ли проекции сил вручную?
- Школьный вывод как раз проекции. Собрать две уже готовые перпендикулярные силы в модуль можно на странице равнодействующей по осям; здесь ответ сразу T₁ и T₂.
Источники
- Сивухин Д. В. Общий курс физики. Механика.
- Иродов И. Е. Основные законы механики.
- BIPM. The International System of Units (SI).