Какая формула используется для «Объём выборки для доли»?

Основная запись: n = ceil(z^2 * p * (1 - p) / E^2). Обозначения раскрыты в таблице этой страницы.

Можно ли найти не Требуемый объём выборки, а другую величину?

Да. Доступны цели: Требуемый объём выборки, Допустимая ошибка как доля, Критическое значение. Для каждой интерфейс оставляет необходимые поля.

Как правильно ввести «Критическое значение»?

Используйте единицу из списка возле поля и не применяйте коэффициент перевода вручную. Ограничения знака и диапазона показаны в разделе единиц.

Объём выборки для доли — калькулятор и формула

Объём выборки для доли: что именно считается

Объём выборки для доли: используйте зависимость n = ⌈z²p(1−p)/E²⌉. Введите известные величины, выберите искомую и проверьте единицы перед подстановкой.

Практическая постановка этой страницы — планирование опроса для доли. Центральная запись n = ceil(z^2 * p * (1 - p) / E^2) связывает Требуемый объём выборки, Критическое значение, Ожидаемая доля от 0 до 1 и Допустимая ошибка как доля.

Статистическая формула описывает неопределённость оценки, а не разброс отдельного наблюдения. Объём выборки, стандартная ошибка, критическое значение и доля играют разные роли.

Для доли дисперсионный множитель p(1−p) максимален при p = 0,5. Если предварительной оценки доли нет, это значение даёт консервативный, то есть не заниженный, объём выборки.

Страница относится к разделу «выборочные оценки» и подходит для проверки размерности, подстановки и обратного хода формулы в задаче «Объём выборки для доли».

Материалы той же предметной группы собраны в разделе выборочные оценки. Перед вводом определите, какое значение известно из условия, а какое должно стать результатом.

Формула n = ceil(z^2 * p * (1 - p) / E^2)

Основная зависимость для «Объём выборки для доли»

n = ceil(z^2 * p * (1 - p) / E^2)

Символ	Значение	Единица
`n`	Требуемый объём выборки	—
`z`	Критическое значение	—
`p`	Ожидаемая доля от 0 до 1	—
`E`	Допустимая ошибка как доля	—

Искомая по умолчанию величина — Требуемый объём выборки. Для неё используются Критическое значение, Ожидаемая доля от 0 до 1 и Допустимая ошибка как доля.

n — Требуемый объём выборки; безразмерное число или величина в единице, прямо указанной в подписи поля.
z — Критическое значение; безразмерное число или величина в единице, прямо указанной в подписи поля.
p — Ожидаемая доля от 0 до 1; безразмерное число или величина в единице, прямо указанной в подписи поля.
E — Допустимая ошибка как доля; безразмерное число или величина в единице, прямо указанной в подписи поля.

Все оценки должны относиться к одной выборке и одной генеральной совокупности. Уровень доверия задаётся через соответствующее критическое значение, а доля вводится числом от нуля до единицы.

Алгоритм расчёта без скрытых шагов

Выберите целью «Требуемый объём выборки» либо одну из доступных обратных величин.
Перенесите из условия только независимые исходные данные: Критическое значение, Ожидаемая доля от 0 до 1 и Допустимая ошибка как доля.
Укажите единицу возле каждого числа; постоянные поля оставьте без изменения, если условие не требует другого значения.
Сопоставьте условие с допущением: Расчёт относится к учебной модели раздела «выборочные оценки». Коэффициенты и исходные данные задаёт пользователь; нормативные запасы автоматически не добавляются.
Выполните расчёт и сохраните результат вместе с обозначением и единицей.
Повторите одну обратную подстановку или контрольный пример из следующего раздела.

Для задачи «планирование опроса для доли» сначала фиксируют Требуемый объём выборки, затем проверяют роли остальных параметров. Такой порядок не позволяет случайно принять коэффициент за измеряемую величину.

Если число берётся из паспорта, таблицы или измерения, запишите его источник рядом с расчётом. Это особенно важно для параметров: Требуемый объём выборки, Критическое значение, Ожидаемая доля от 0 до 1 и Допустимая ошибка как доля.

Контрольные точки

Каждый уникальный набор ниже входит в автоматические тесты калькулятора и проверяет фактическую конфигурацию полей и формул.

Точка 1: Требуемый объём выборки. Дано: z = 2; p = 0.5; E = 0.05. По записи n = ceil(z^2 * p * (1 - p) / E^2) ожидается 400.
Точка 2: Допустимая ошибка как доля. Дано: z = 2; p = 0.5; n = 400. По записи E = sqrt(z^2 * p * (1 - p) / n) ожидается 0.05.
Точка 3: Критическое значение. Дано: E = 0.05; n = 400; p = 0.5. По записи z = E * sqrt(n / (p * (1 - p))) ожидается 2.

Смысл первого набора связан с ситуацией «планирование опроса для доли». Остальные точки полезны для обратного хода: результат одной записи становится известным значением другой.

При ручной проверке сохраняйте полную точность до последнего шага. Отображаемое округление может скрыть небольшое расхождение, но не должно менять порядок величины.

Как параметры влияют на ответ

Структура n = ceil(z^2 * p * (1 - p) / E^2) позволяет заранее предсказать направление изменения результата.

Требуемый объём выборки округляется вверх до целого: дробного изделия или элемента недостаточно.
Квадратичный множитель усиливает изменение: удвоение соответствующего параметра может изменить вклад примерно в четыре раза.
Величина в знаменателе не должна обращаться в ноль; её рост обычно уменьшает дробный вклад при неизменном числителе.
Аддитивные члены сохраняют знак, поэтому перестановка начального и конечного значения способна изменить направление результата.

Оставьте остальные значения постоянными и измените только Критическое значение. Если направление ответа противоречит формуле, проверьте выбранную цель и единицы.

Граница нулевого или единичного значения показывает, остаётся ли зависимость определённой и должен ли результат обращаться в ноль, сохраняться либо терять смысл.

Какие величины можно восстановить

На странице реализовано 3 расчётные цели. Переключение цели меняет набор обязательных входов, но не предметную модель.

Требуемый объём выборки: n = ceil(z^2 * p * (1 - p) / E^2). Нужны: Критическое значение, Ожидаемая доля от 0 до 1 и Допустимая ошибка как доля.
Допустимая ошибка как доля: E = sqrt(z^2 * p * (1 - p) / n). Нужны: Критическое значение, Ожидаемая доля от 0 до 1 и Требуемый объём выборки.
Критическое значение: z = E * sqrt(n / (p * (1 - p))). Нужны: Допустимая ошибка как доля, Требуемый объём выборки и Ожидаемая доля от 0 до 1.

Обратная формула допустима только там, где решение однозначно в выбранной области. Корень, логарифм или обратная тригонометрическая функция требуют проверки знака и диапазона.

Если исходные данные округлены, восстановленное значение может немного отличаться от первоначального. Сравнивайте его с точностью измерения, а не по последней цифре интерфейса.

Единицы, ограничения полей и округление

Выбор единицы у поля уже включает коэффициент преобразования, поэтому умножать число на него вручную второй раз не нужно.

n — Требуемый объём выборки: единица задаётся смыслом поля; только целое число, значение больше нуля.
z — Критическое значение: единица задаётся смыслом поля; значение больше нуля.
p — Ожидаемая доля от 0 до 1: единица задаётся смыслом поля; ноль допустим, минимум 0, максимум 1.
E — Допустимая ошибка как доля: единица задаётся смыслом поля; значение больше нуля.

Для записи n = ceil(z^2 * p * (1 - p) / E^2) контролируйте степени и знаменатели. Линейный размер, площадь, объём, скорость и процент преобразуются по разным правилам.

Результат округляют по точности исходных данных. При передаче ответа в соседний калькулятор сохраните дополнительные значащие цифры.

Проверка результата для «Объём выборки для доли»

При увеличении выборки неопределённость обычно уменьшается примерно как обратный квадратный корень. Интервал обязан содержать свою точечную оценку при положительной границе ошибки.

Размерностная проверка должна привести к типу «безразмерное число или величина в единице, прямо указанной в подписи поля». Посторонняя единица после сокращения указывает на неверный масштаб одного из полей.

Подставьте ответ в одну из обратных записей: n = ceil(z^2 * p * (1 - p) / E^2) или E = sqrt(z^2 * p * (1 - p) / n). Совпадение с исходным числом подтверждает арифметический цикл.

Сравните ответ с грубой оценкой для сценария «планирование опроса для доли». Контроль диапазона быстро обнаруживает лишний множитель 100, 1000 или неверную степень.

Допущения и область применения

Допущение модели. Расчёт относится к учебной модели раздела «выборочные оценки». Коэффициенты и исходные данные задаёт пользователь; нормативные запасы автоматически не добавляются.

Практическое ограничение. p и E вводятся долями: 0,5 означает 50%, а 0,05 — пять процентных пунктов.

Случайность отбора, независимость наблюдений, форма распределения и дизайн исследования не проверяются калькулятором. Систематическое смещение нельзя устранить увеличением n.

Калькулятор подтверждает вычисление по заданной зависимости, но не происхождение исходных данных. Для ответственного решения отдельно подтверждают коэффициенты, диапазоны, нормативные требования и запас.

Ошибки, характерные для этой формулы

Поставить значение «Требуемый объём выборки» в поле другого обозначения и решить иную обратную задачу.
Поставить значение «Критическое значение» в поле другого обозначения и решить иную обратную задачу.
Поставить значение «Ожидаемая доля от 0 до 1» в поле другого обозначения и решить иную обратную задачу.
Поставить значение «Допустимая ошибка как доля» в поле другого обозначения и решить иную обратную задачу.
Допустить нулевой знаменатель в записи n = ceil(z^2 * p * (1 - p) / E^2) и принять неопределённость за очень большое конечное число.
Округлить промежуточную величину до применения правила целого количества и получить двойное округление.
Округлить исходные данные раньше подстановки и перенести накопленную погрешность в итог.

Если контрольный пример проходит, а пользовательский нет, восстановите исходные единицы и вводите параметры по одному.

Не переносите коэффициент из похожего калькулятора только из-за совпадения букв. В записи «Объём выборки для доли» каждое обозначение определено таблицей этой страницы.

Частые вопросы

Что означает результат «Объём выборки для доли»?: Объём выборки для доли: используйте зависимость n = ⌈z²p(1−p)/E²⌉. Введите известные величины, выберите искомую и проверьте единицы перед подстановкой. Ответ относится к модели «выборочные оценки» и читается как величина «Требуемый объём выборки».
Какая формула используется для «Объём выборки для доли»?: Основная запись: n = ceil(z^2 * p * (1 - p) / E^2). Обозначения раскрыты в таблице этой страницы.
Можно ли найти не Требуемый объём выборки, а другую величину?: Да. Доступны цели: Требуемый объём выборки, Допустимая ошибка как доля, Критическое значение. Для каждой интерфейс оставляет необходимые поля.
Как правильно ввести «Критическое значение»?: Используйте единицу из списка возле поля и не применяйте коэффициент перевода вручную. Ограничения знака и диапазона показаны в разделе единиц.
Почему расчёт «Объём выборки для доли» может отличаться от практики?: Расчёт относится к учебной модели раздела «выборочные оценки». Коэффициенты и исходные данные задаёт пользователь; нормативные запасы автоматически не добавляются. p и E вводятся долями: 0,5 означает 50%, а 0,05 — пять процентных пунктов.
Как проверить ответ по формуле n = ceil(z^2 * p * (1 - p) / E^2)?: Повторите первую контрольную точку, оцените порядок величины и восстановите одно исходное значение обратной формулой. При увеличении выборки неопределённость обычно уменьшается примерно как обратный квадратный корень. Интервал обязан содержать свою точечную оценку при положительной границе ошибки.

Источники

Вводный курс математической статистики: выборка, стандартная ошибка и доверительные оценки. Тема: «Объём выборки для доли».