Середина упорядоченного ряда
Медиана — значение, которое делит упорядоченный ряд пополам: половина наблюдений не больше неё, половина не меньше. Тест: 1, 2, 3 → 2; 1, 2, 3, 4 → 2,5. Хаб: описательная статистика.
Сначала сортировка, потом середина. Порядок ввода не важен. Минимум два числа.
Нечётное и чётное n
Me — середина упорядоченного ряда
Обратного хода к исходному ряду нет: одна медиана соответствует бесконечности наборов. Искомое только Me.
Не среднее и не мода
Не сумма на n. Не самое частое. Не процентиль 50 методом ближайшего ранга при чётном n: там может выйти другой член, не среднее двух центральных.
Как пользоваться
Введите ряд, добавьте строки при необходимости. Раздел: описательная статистика.
Примеры
Нечёт. 5, 1, 3 → ряд 1, 3, 5 → Me = 3.
Чёт. 1, 2, 3, 4 → среднее 2 и 3 → 2,5.
Запрет. одно число — мало для этой страницы.
Ещё задачи
Оценки 2, 5, 5, 5, 3. Ряд 2, 3, 5, 5, 5, Me = 5. Среднее меньше из‑за двойки.
Зарплаты 40, 42, 45, 200. Медиана между 42 и 45. Среднее утащит 200.
Два одинаковых: 7 и 7 → Me = 7.
Отрицательные: −4, −1, 2 → Me = −1.
Не путайте с модой: в 1, 1, 1, 9 мода 1, медиана тоже 1, но это совпадение.
Лабораторные длины 12, 12, 13, 40 мм: медиана 12,5, среднее ближе к 19.
Чётный ряд температур −2, 0, 1, 8: среднее 0 и 1 даёт 0,5.
Связь с процентилем 50: при нечётном n часто совпадает, при чётном — проверьте метод.
Не используйте для «типичной цены квартиры» без оговорки, что это не среднее.
Итог практики: сортировка, середина, выброс почти невидим.
Школа: почему выброс почти не двигает медиану
Среднее использует все слагаемые, поэтому одно огромное число входит в сумму целиком. Медиана после сортировки смотрит только на позицию в центре: крайние могут быть какими угодно, пока не пересекут середину.
Правило чётного n: два центральных члена усредняют. Это школьный договор, не «ближайший ранг». Поэтому процентиль 50 на соседней странице при чётном n может отличаться.
Чертёж: точки на числовой прямой, подпишите середину. Не рисуйте гистограмму частот — это про моду.
Устойчивость: замените максимум 9 на 900 в ряду 1, 2, 3, 4, 9. Медиана 3 не сдвинется. Среднее вырастет сильно. Это главный учебный контраст.
Не группируйте интервалы: страница работает с сырым списком, не с серединами классов.
Связь с размахом: размах использует только края, медиана — центр. Вместе они описывают разные куски ряда.
Связь с СКО: разброс вокруг среднего, не вокруг медианы. MAD здесь нет.
Лабораторный отчёт: выпишите упорядоченный ряд, укажите n, отметьте один или два центральных члена.
Памятка: сортировка обязательна; ввод 5, 1, 3 без сортировки в тетради даст ложную «медиану 1».
Не путайте с ожиданием E(X): там вероятности pᵢ, здесь равноправные наблюдения.
Процентиль p=50 методом ближайшего ранга на четырёх точках 10, 20, 30, 40 даёт 20, медиана даёт 25. Две страницы, два договора.
Выброс с двух сторон: −100, 1, 2, 3, 100. Медиана 2, среднее ближе к нулю только если края симметричны.
Качественные оценки «н/з» сюда не ставят. Только числа.
Итог журнала: упорядочили, взяли центр, выброс не в сумме, чётное n — среднее двух.
Ещё сюжет оценок: контрольная 2, 3, 4, 5, 5. Me = 4. Учитель смотрит типичный результат, не сумму.
Ещё сюжет зарплат: отдел из четырёх человек 50, 52, 55, 180. Медиана 53,5. Бонус директора не должен изображать «среднюю зарплату отдела» как медиану, если просили среднее — другая страница.
Ещё сюжет термометра: ночные −8, −7, −7, 12 днём. Медиана −7. Полдень не перетягивает центр так, как среднее.
Ещё сюжет четного ряда: шесть измерений 1,1,2,2,3,9. Два центральных 2 и 2, Me = 2.
Ещё сюжет ошибки сортировки: записали 9, 1, 2 и взяли 1 как «середину ввода». Неверно. Сначала 1, 2, 9, затем 2.
Ещё сюжет отчёта: формула, упорядоченный ряд, n, один или два центральных, сравнение со средним, без совета по зарплате.
Группированный ряд из журнала «интервал 10–20, частота 4» сюда не ставят: сначала разверните частоты в список либо считайте медиану интервалов в тетради, страница ждёт сырые числа.
Связь с размахом на примере 1, 2, 3, 100: Me = 2,5 при четырёх числах (среднее 2 и 3), размах 99. Центр и края рассказывают разное.
Не усредняйте медианы подгрупп без правила: медиана медиан не всегда медиана объединения. Страница считает один список.
Проверка руками: для семи чисел позиция (7+1)/2 = 4, четвёртый после сортировки. Для восьми — среднее 4-го и 5-го.
Итоговая памятка тетради: сортировка, чёт или нечет, один или два центральных, сравнение со средним, без совета HR.
Типичные ошибки
- Забыть сортировку
- Путать с средним
- Путать с модой
- Одно число
- Считать процентиль 50 той же формулой при чётном n
Соседи: среднее, мода, процентиль, размах, СКО
Частые вопросы
- Как считают медиану?
- Упорядочьте ряд. При нечётном n берут средний член, при чётном — среднее двух центральных.
- 1, 2, 3?
- Me = 2.
- 1, 2, 3, 4?
- Me = 2,5 — среднее 2 и 3.
- Это среднее арифметическое?
- Нет. Среднее складывает все числа. Медиана смотрит только на середину ряда.
- Один выброс 1000?
- Медиана почти не сдвинется, среднее уедет. В этом смысл устойчивости.
- Где хаб?
- Описательная статистика.