Два контура и общий резистор
Учебная схема: левый контур E₁ и R₁, правый E₂ и R₂, посередине общий R₃. Контурные токи I₁ и I₂ оба по часовой. Тогда (R₁+R₃)I₁ − R₃ I₂ = E₁, (R₂+R₃)I₂ − R₃ I₁ = E₂. Раздел: цепи Кирхгофа.
Контроль: все R = 1 Ом, E₁ = 3 В, E₂ = 0 → I₁ = 2 А, I₂ = 1 А. Симметрия E₁ = E₂ = 3 В → оба тока 3 А, через R₃ ноль. Это не «каждый источник видит только свой резистор», пока E₂ не совпал.
ЭДС положительна, если обход идёт от минуса к плюсу источника. Минус E — источник против часовой.
(R₁+R₃)I₁ − R₃ I₂ = E₁
(R₁+R₃)I₁ − R₃ I₂ = E₁; (R₂+R₃)I₂ − R₃ I₁ = E₂
Определитель D = R₁R₂ + R₁R₃ + R₂R₃. При положительных R он больше нуля. I₁ = ((R₂+R₃)E₁ + R₃ E₂) / D. Extra печатает второй ток.
Обратный ход E₁, E₂ из токов и омов. Искать R₁ из токов страница не предлагает: омы задаёте вы.
Не один список KVL и не Крамер без схемы
Не произвольный список вольт: там нет I и R. Не восемь коэффициентов a₁…c₂ — они уже собраны. Не три падения подряд без разветвления. Не один участок U = IR.
Три контура, четвёртый резистор, зависимые источники — не эта геометрия. Сведите к двум контурам или пишите уравнения сами.
Как пользоваться
Прямой ход: три ома и две ЭДС, искомое I₁ или I₂. Обратный: токи и омы → ЭДС. Родитель электрика.
Подписи: R₁ только в левом контуре, R₂ только в правом, R₃ общий. Другая нумерация учебника требует переложить числа.
Примеры
1. Правый источник выключен. R = 1, E₁ = 3, E₂ = 0 → 2 А и 1 А.
2. Симметрия. E₁ = E₂ = 3, R = 1 → 3 А и 3 А.
3. Обратная E₁. I₁ = 2, I₂ = 1, R₁ = R₃ = 1 → E₁ = 3 В.
4. Обратная E₂. те же токи, R₂ = R₃ = 1 → E₂ = 0.
5. Масштаб. все R = 2 Ом, E₁ = 12 В, E₂ = 0 → 4 А и 2 А.
Ещё задачи
Проверка падением: в тесте 1 ток через R₃ равен I₁−I₂ = 1 А, U₃ = 1 В. Левый контур: 3 = 2·1 + 1. Правый: 0 = 1·1 − 1. Сходится.
Источники навстречу: E₂ = −3 В при E₁ = 3 В и равных R. Токи сменятся знаком справа. Не кладите модули без минуса, если плюс правой батареи против обхода.
Не подставляйте килоомы к омам без единиц. D тогда чужой.
Общий резистор 0: два независимых контура, I₁ = E₁/R₁, I₂ = E₂/R₂. Страница R₃ positive нуль не примет. Почти ноль — почти независимы.
Связь с гирляндой: если E₂ = 0 и R₂ → ∞, правый контур оборван, остаётся левый с R₁+R₃. Не ставьте бесконечность, уберите правый контур моделью.
Задача «найдите ток через средний». Это I₁−I₂, не I₁. Extra даёт I₂, вычтите.
Три резистора в ряд без средней перемычки — не два контура. Один контур, сумма падений.
Лаборатория: две батареи 1,5 В, три резистора 10 Ом. Если обе согласно и симметрия, средний ток мал. Измерьте, сравните с I₁−I₂.
Не путайте контурный ток с током амперметра в проводе, где текут оба: в общем проводе разность, в крайних — сами I₁ или I₂.
Мост Уитстона в равновесии — ток перемычки ноль, как I₁ = I₂ при симметрии. Не заменяет пропорцию Rx.
Переменный ток и комплексные Z — не здесь. Реактивности отдельно.
Большие ЭДС 24 В и омы 4, 4, 4, E₂ = 0: D = 16+16+16 = 48, I₁ = (8·24)/48 = 4 А, I₂ = (4·24)/48 = 2 А. Как тест масштаба 2 Ом и 12 В.
Если D в уме ноль — омы неположительны, страница так не считает.
Школа: обход по часовой
Метод контурных токов — KVL, записанный через токи контуров. Общий резистор видит разность токов, поэтому в уравнениях минус R₃ Iсоседа.
Договор страницы: оба обхода по часовой, E плюс по обходу. Другой учебник с обоими против часовой сменит знаки токов, модули при тех же плюсах батарей совпадут после переименования.
Чертёж: восьмёрка из двух петель, средняя перемычка R₃, слева E₁ R₁, справа E₂ R₂, стрелки I₁ I₂ по часовой.
Итог: три ома, две ЭДС, два тока. Не произвольная сетка из десяти узлов.
Хаб цепей Кирхгофа отделяет эту геометрию от свободного списка.
Связь с Крамером: a₁₁ = R₁+R₃, a₁₂ = −R₃, c₁ = E₁ и симметрично. Можете проверить на системе 2×2.
Единицы: вольты ЭДС и омы, токи в амперах. мА сами не появятся, если омы не килоомы.
Типичные ошибки
- Забыть минус взаимного R₃.
- Считать ток через середину равным I₁.
- Подставить омы в поля ЭДС.
- Сменить обход одного контура и оставить формулы страницы.
- Ждать произвольную сетку из пяти контуров.
Соседи: правило контуров, система 2×2, закон Ома, последовательные резисторы, сумма падений.
Частые вопросы
- Как считаются два контурных тока?
- Левый и правый контуры по часовой, общий R₃: (R₁+R₃)I₁ − R₃ I₂ = E₁ и (R₂+R₃)I₂ − R₃ I₁ = E₂. При R = 1 Ом, E₁ = 3 В, E₂ = 0 получите I₁ = 2 А, I₂ = 1 А.
- Почему I₂ тоже печатается?
- Система даёт оба тока сразу. Extra I₂ при искомом I₁. Переключатель I₂ меняет только, какое число в большом ответе.
- Это правило контуров?
- KVL — сумма знаковых вольт одного обхода. Здесь сразу два уравнения и три резистора фиксированной схемы.
- Это система 2×2?
- Крамер считает любые a,b,c. Здесь коэффициенты уже из R и E, не надо собирать матрицу руками.
- Как найти ЭДС?
- E₁ = (R₁+R₃)I₁ − R₃ I₂. Обратный ход по токам. Знак E₂ может быть нуль или минус, если правый источник против обхода.
- Где хаб?
- Цепи Кирхгофа.
Источники
- Иродов И. Е. Основные законы электромагнетизма.
- Сивухин Д. В. Общий курс физики. Электричество.
- BIPM. The International System of Units (SI).