Какая формула объёма тора?

V = 2π² R r². R — радиус окружности, по которой едет центр трубки, r — радиус самой трубки.

Как запомнить?

Площадь круга трубки π r² умножить на длину пути центра 2π R: π r² · 2π R = 2π² R r².

Шар 4/3 π r³ — один радиус. У тора два радиуса R и r.

π r² h с h = 2π R дал бы тот же объём «развёрнутой» трубки, пока R заметно больше r и изгиб не сплющивает.

Когда R меньше r?

Тор пересекает сам себя (веретено). Кольцо-бублик обычно R > r. Формула 2π² R r² математически работает и при R = r (рог).

Объём тора — калькулятор V = 2π² R r²

Бублик: трубка по окружности

Тор — поверхность и тело «бублика»: круг радиуса r вращают вокруг оси на расстоянии R от центра круга. Объём V = 2π² R r². Хаб: стереометрия.

Тест: R = 2, r = 1 → V = 4π².

V = 2π² R r²

V = 2 π² R r²

R меряйте до центра трубки, не до внешней кромки. Внешний габарит R+r, внутреннее отверстие R−r (если R>r).

Обратный ход: R = V / (2π² r²), r = √(V / (2π² R)).

Не шар и не цилиндр

Шар 4/3 π r³. Круг π r² — сечение трубки. Цилиндр π r² h.

Как пользоваться

Выберите искомую величину, введите остальные. Длины и площади согласуйте по единицам. Раздел: стереометрия.

Примеры

Прямая. 2 и 1 → 4π².

R. V = 4π², r = 1 → 2.

r. V = 4π², R = 2 → 1.

Запрет. r = 0.

Ещё задачи

Спасательный круг: до центра трубки 40 см, трубка 8 см в радиусе. R=0,4, r=0,08, V = 2π²·0,4·0,0064 ≈ 0,0506 м³ ≈ 50,6 л «пенообъёма». Не берите внешний диаметр круга 96 см как 2R.

Бублик в задачнике часто R=5, r=2. V=2π²·5·4=40π². Отверстие радиуса 3: «дырка» не вычитается — объём уже только тесто, дырка пустая.

Камера шины: тор. Внутренний воздух ≈ V при средних R, r. Вентиль и овальность школа игнорирует.

Не путайте R и r. Если поменять, V изменится линейно по R и квадратично по r. В тесте 2 и 1: наоборот R=1 r=2 дало бы 8π², вдвое больше и самопересечение (R<r).

Обратный ход: объём 1 л = 0,001 м³, r=0,01 м → R = 0,001 / (2π²·0,0001) ≈ 0,507 м. Тонкая длинная «трубка-кольцо» метр в диаметре.

Сравнение с шаром радиуса r: шар 4/3 π r³, «кусок» тора локально как цилиндр. Не заменяйте тор шаром того же r.

Развернуть тор в цилиндр длиной 2πR: объём совпадает с формулой, это и есть вывод. Изгиб пространства для объёма (не для напряжений в резине) в школьной модели не поправка.

Единицы: оба радиуса в метрах. R=20 см, r=5 см → 0,2 и 0,05, V=2π²·0,2·0,0025=0,001π² м³ ≈ 9,87·10⁻⁴ м³ ≈ 0,99 л.

Самопересечение R=r: «рог», отверстия нет. Формула даёт 2π² r³. Картинка уже не бублик с дыркой.

Два тора: объёмы складываются. Сцепленные кольца в объёме не «вычитают пересечение», если тела не проникают: каждое V своё.

Школа: написать 2π R и π r², перемножить. Не написать 4/3 и не возвести R в куб.

Пончик в сечении не идеальный круг — оценка. Калькулятор идеальный круговой тор.

Проверка: V / (π r²) должно равняться 2π R, длине окружности центров. Для теста 4π² / π = 4π = 2π·2. Сходится.

Не подставляйте диаметр трубки как r. Как у шара и цилиндра, диаметр делят на два.

Школа и два радиуса

На чертеже тора два круга: большой «путь центра» и малый «трубка». Подпишите R к большому, r к малому. Внешняя окантовка R+r, внутренняя R−r. Объём не содержит суммы и разности, только произведение R r².

Теорема Паппа: площадь плоской фигуры на длину пути барицентра. Круг π r², путь 2π R, снова 2π² R r². Так запоминают без интеграла.

Бублик в сечении овал — оценка. Калькулятор круговое сечение. Для «толстого» пончика с плюшкой школьно всё равно тор, если учитель сказал тор.

Шина: R берут до центра камеры, не до диска. Диск колеса — дырка тора, в объём резины/воздуха не входит. Камера ≈ V тора.

Самопересечение R < r на картинке как «яблоко без дырки» (веретено). Формула та же, смысл дырки пропадает. Для спасательного круга проверяйте R > r.

Проверка: разделите V на π r², получите 2π R. Это длина окружности центров. Если не сходится, перепутали R и r или потеряли один π.

Модель из пластилина: раскатайте цилиндр и согните в кольцо, слепив торцы. Объём почти сохранится, если не смяли сечение. Школьный вывод «цилиндр длиной 2πR» становится наглядным.

Крендель с дыркой — тор только если сечение круглое. Сплющенное тесто ближе к другому телу. Калькулятор не знает сплющивания.

Ручка двери «кольцо»: малый тор. R по оси прутка до центра кольца, r — половина толщины прутка. Не берите внешний диаметр кольца как 2R без вычета r.

Сравнение с цилиндром: если «развернуть» бублик, длина 2πR, сечение π r². Тот же объём. Изгиб на объём в школе не влияет — только на прочность и картинку.

Бусинка-кольцо: мелкий тор. Не считайте как шар по внешнему радиусу R+r: шар был бы больше и без дырки. Дырка как раз отличает тор.

Итог: два радиуса, два «пи», площадь круга на длину пути центра. Дырку не вычитайте: её уже нет в формуле.

Типичные ошибки

Перепутать R и r.
Взять внешний габарит как R.
Считать как шар 4/3 π r³.
Забыть π² (два раза π).
Нулевой r.

Соседи: шар, круг, цилиндр, конус.

Частые вопросы

Какая формула объёма тора?: V = 2π² R r². R — радиус окружности, по которой едет центр трубки, r — радиус самой трубки.
Как запомнить?: Площадь круга трубки π r² умножить на длину пути центра 2π R: π r² · 2π R = 2π² R r².
Это шар?: Шар 4/3 π r³ — один радиус. У тора два радиуса R и r.
Цилиндр?: π r² h с h = 2π R дал бы тот же объём «развёрнутой» трубки, пока R заметно больше r и изгиб не сплющивает.
Когда R меньше r?: Тор пересекает сам себя (веретено). Кольцо-бублик обычно R > r. Формула 2π² R r² математически работает и при R = r (рог).
Радиус трубки 0?: Запрещён.