Тела слипаются: импульс есть, часть Eₖ нет
Абсолютно неупругий удар — предельный случай: после контакта относительная скорость нулевая, два тела едут вместе. Импульс системы на гладкой прямой сохраняется: внешние силы за миллисекунды удара не успевают изменить количество движения. Кинетическая энергия поступательного движения обязана упасть: иначе нельзя «убить» относительную скорость без деформации.
Калькулятор считает только потерю ΔEₖ, не общую скорость и не импульс. Раздел: энергия. Сосед по импульсу — количество движения.
ΔEₖ = m₁ m₂ (v₁ − v₂)² / (2(m₁ + m₂))
ΔEₖ = m₁ m₂ (v₁ − v₂)² / (2(m₁ + m₂))
Приведённая масса μ = m₁ m₂ / (m₁ + m₂) умножается на квадрат относительной скорости и делится на два: ΔEₖ = μ (v₁ − v₂)² / 2. Это ровно кинетическая энергия относительного движения, которая при слипании обнуляется. Массы в килограммах, скорости в метрах в секунду, потеря в джоулях.
Если v₁ = v₂, относительной скорости нет, ΔEₖ = 0: «удар» не меняет движение. Если одна масса стремится к нулю, потеря стремится к нулю: нечем обмениваться. Нулевую массу калькулятор не принимает. Три массы и удар «цепочкой» формула не покрывает: сначала сведите задачу к двум телам или к последовательным парным слипаниям.
Откуда общая скорость
u = (m₁ v₁ + m₂ v₂) / (m₁ + m₂). После удара Eₖ = (m₁ + m₂) u² / 2. До удара Eₖ = m₁ v₁² / 2 + m₂ v₂² / 2. Разность — формула выше. Проверка для 1 кг и 1 кг, v₁ = 2 м/с, v₂ = 0: u = 1 м/с, до 2 Дж, после 1 Дж, потеря 1 Дж.
Импульс до: 2 кг·м/с, после: 2 · 1 = 2. Импульс на месте, энергия нет. Страница импульса силы описывает, какой удар FΔt меняет p одного тела; здесь внешний импульс системы принят нулевым.
Равные массы, одна покоится: уходит половина
m₁ = m₂, v₂ = 0, v₁ = v. Тогда u = v/2, Eₖ до = m v² / 2, Eₖ после = m (v/2)² = m v² / 8, на два тела как одно 2m: (2m)(v/2)² / 2 = m v² / 4. Потеря m v² / 4 — половина начальной энергии движущегося тела. Запомнить: «въехал в такой же покоящийся и слиплись — осталась половина Eₖ».
Саму начальную Eₖ можно сверить на кинетической энергии. Теорема о кинетической энергии для системы двух тел говорит, что потеряна работа внутренних неупругих сил деформации: A = ΔEₖ с отрицательным ΔEₖ.
Лобовой удар равных масс с ±v
m₁ = m₂ = 2 кг, v₁ = 1 м/с, v₂ = −1 м/с. Импульс 2 − 2 = 0, общая скорость 0, после удара лежат. Потеря = вся начальная Eₖ = 1 + 1 = 2 Дж. Формула: 2·2·(2)² / (2·4) = 8/8 = 2. Всё движение ушло в смятие.
Знак скорости обязателен. Если обе вписать как «1 и 1» без минуса, модель думает, что они едут рядом в одну сторону, относительная скорость 0, потеря 0 — другой сюжет.
Не упругий удар
Абсолютно упругий удар сохраняет и импульс, и кинетическую энергию: мячи разлетаются, ΔEₖ = 0. Частично неупругий — коэффициент восстановления 0 < e < 1, потеря меньше, чем при слипании. Калькулятор держит только e = 0. Пластилиновые шары, вагоны с автосцепкой в учебной модели, пуля, застрявшая в бруске — типичные абсолютно неупругие сюжеты.
Пуля в бруске: m маленькая, v большая, M большое, V ≈ 0. Потеря почти вся Eₖ пули минус крошечная Eₖ бруска с пулей. Формула это умеет: подставьте m₁, m₂, v₁, v₂ = 0.
Знаки скоростей и единицы
Выберите одну прямую и один знак «вправо». Второе тело навстречу — отрицательная скорость. Массы строго положительны. Ответ ΔEₖ ≥ 0: модель не умеет «рождать» кинетическую энергию при слипании.
Скорости в км/ч переведите списком единиц. После потери, если нужна оставшаяся Eₖ, посчитайте начальные на странице кинетической энергии и вычтите ΔEₖ, либо найдите u и снова mv²/2. Сила удара за время — J = F Δt, не эта потеря. Полную механическую энергию системы после удара имеет смысл складывать только из оставшейся Eₖ и потенциальной, если она была: Eₖ + Eₚ уже без потерянных джоулей деформации.
Типичные ошибки
- Считать, что при слипании сохраняется Eₖ, как импульс.
- Забыть минус у встречной скорости.
- Сложить массы в знаменателе, но забыть двойку: формула с 2(m₁+m₂).
- Применить формулу к упругому отскоку и удивиться ненулевой потере.
- Подставить послеударные скорости вместо доударных.
Частые вопросы
- Что такое абсолютно неупругий удар?
- Столкновение, после которого тела движутся как одно: слипаются. Коэффициент восстановления равен нулю. Импульс системы сохраняется, кинетическая энергия — нет.
- Какая формула потери энергии?
- ΔEₖ = m₁ m₂ (v₁ − v₂)² / (2(m₁ + m₂)). Это разность суммы Eₖ до удара и Eₖ общего тела после.
- Сохраняется ли импульс?
- Да, если нет внешних импульсов за короткое время удара. Общая скорость u = (m₁ v₁ + m₂ v₂) / (m₁ + m₂). Импульс тела считает p = mv.
- Куда девается потерянная Eₖ?
- В деформацию, тепло, звук, внутреннюю энергию. Механическая сумма после удара меньше. Оценку самой потери даёт этот калькулятор.
- Подходит ли формула для упругого удара?
- Нет. При абсолютно упругом ударе кинетическая энергия сохраняется, ΔEₖ = 0. Здесь модель — слипание.
- Как задать встречное движение?
- Один знак скорости — вправо, противоположный — влево. Для лобового равных масс 1 м/с и −1 м/с потеря равна всей начальной Eₖ.
Источники
- Сивухин Д. В. Общий курс физики. Механика.
- Иродов И. Е. Основные законы механики.
- BIPM. The International System of Units (SI).