Евклидова длина отрезка
Расстояние между двумя точками на координатной плоскости — длина прямолинейного отрезка. Оси прямоугольные, единица по x та же, что по y. Это не путь робота по клеткам и не длина ломаной через третью точку.
Контроль: (0; 0) и (3; 4) → 5. Раздел: координатная плоскость. Та же пятёрка, что у катетов 3 и 4.
Знак координат любой: третья четверть не делает длину отрицательной. Квадраты разностей снимают знак.
Пифагор на Δx и Δy
d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
Δx = x₂ − x₁, Δy = y₂ − y₁ — катеты вспомогательного прямоугольного треугольника. Гипотенуза — d. Обратный ход восстанавливает одну координату с неотрицательным корнем: вторая точка «правее» или «выше» первой по выбранной оси.
Если d меньше |Δy|, под корнем отрицательное — такой x₂ нет.
Не манхэттен и не ломаная
Не |x₂−x₁| + |y₂−y₁|. Не середина: средняя точка не длина. Не угловой коэффициент: k = Δy/Δx, не корень. Не расстояние до прямой.
Не трёхмерное √(Δx²+Δy²+Δz²): z нет.
Как пользоваться
Ищите d или одну координату второй точки. Четыре числа сетки. Единицы условные: все пять величин в одной шкале.
Родитель планиметрия. Если даны длины катетов без координат — Пифагор.
Примеры
1. Классика. (0;0) и (3;4) → 5.
2. Ноль. Совпадение → 0.
3. Сдвиг. (1;2) и (4;6) → снова 5.
4. x₂. d = 5, (0;0), y₂ = 4 → x₂ = 3.
5. y₂. d = 5, (0;0), x₂ = 3 → y₂ = 4.
6. Нельзя. d = 3 при Δy = 4.
Ещё задачи
Диагональ клетки 1×1: точки (0;0) и (1;1) → √2. Не 2.
Отрезок вдоль оси: (2;5) и (2;−1) → 6. Δx = 0, формула не ломается.
Якорь египетского треугольника 3-4-5 держите как линейку.
После длины часто нужна середина — средние координат. Площадь треугольника с этой стороной — шнурок или Герон, если сначала найдёте три стороны.
Не проценты: «на сколько процентов длиннее» — после двух d в тетради.
Отрицательные координаты: (−3; −4) и (0;0) снова 5. Знак четверти длину не красит.
Карта в километрах: кладите километры как числа сетки. Страница не переводит широту-долготу сферы.
Ветвь минус: если учитель просит точку слева, x₂ = x₁ − корень. Поле страницы даёт плюс.
Связь с k: длина и наклон независимы. Один и тот же k при разном d — подобные прямоугольные треугольники.
Школа: прямоугольный треугольник
Образ: из A в B идите сначала по горизонтали, потом по вертикали, затем гипотенуза — кратчайшая.
Памятка: квадраты, сумма, корень. Не сумма модулей.
Контроль 6-8-10 как удвоенные 3-4-5.
Итог: пять полей, d ≥ 0, совпадение можно.
Чертёж: две точки, прямоугольник катетов, дуга d.
Хаб координат рядом с треугольником, потому что катеты здесь — разности, не стороны фигуры в условии.
Оси, совпадение, ветвь корня
Точка на оси x: (a;0) и (b;0) → |b−a|. Формула это видит сама.
Обратный x₂ при Δy = 0: x₂ = x₁ + d. Ветвь плюс уезжает вправо.
Якорь нуля на совпадении.
Родитель геометрия. Стереометрия сюда не входит.
Единицы сетки
Все координаты в одной единице. Смешать «x в см, y в м» нельзя: сначала переведите в тетради.
Проверка: 3-4-5 и сдвиг на (1;2).
Не ищите угол. Нет arctan.
Сосед по средней точке: середина.
Корень из нуля допустим. Корень из отрицательного — отказ.
Большие числа: (0;0) и (3000;4000) → 5000, не «переполнение клетки тетради».
Сетка тетради в клетку 5 мм не меняет формулу: координаты — номера, не миллиметры, пока учитель не сказал масштаб.
Две точки с Δx = 5, Δy = 12 дают 13. Это тоже пифагорова тройка, как 5-12-13. Держите рядом с 3-4-5.
Если условие дало полярные r и φ, сначала x = r cos φ, y = r sin φ в тетради, сюда уже декартовы пары. Страница полярных полей не имеет.
Чертёж «от дома до школы по карте кварталов» — манхэттен, не эта d. Евклид — кратчайшая на плоскости задачи, не дуга по глобусу.
Проверка обратного хода: получили x₂ = 3, подставьте все четыре координаты снова в d, должно вернуться 5. Если не сходится — перепутали ветвь или ось.
Оси с разным масштабом на плакате (клетка x вдвое шире) ломают наглядный Пифагор: формула всё равно про числа, не про миллиметры рисунка.
Нулевой d — не запрет. Это совпавшие точки, не «ошибка калькулятора».
Типичные ошибки
- Сложить |Δx| и |Δy|.
- Забыть квадраты.
- Ждать отрицательную длину в третьей четверти.
- Перепутать с расстоянием до прямой.
- Взять минус корня, когда страница дала плюс.
Соседи: Пифагор, середина, наклон, площадь по вершинам.
Частые вопросы
- Как найти расстояние между точками?
- d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²). Точки (0,0) и (3,4) дают 5 — тот же египетский треугольник, что у Пифагора.
- Можно найти x₂?
- Да, ветвь с плюсом: x₂ = x₁ + √(d² − (y₂−y₁)²). Вторую точку слева от x₁ получите сменой знака в тетради.
- Это теорема Пифагора?
- Пифагор ищет гипотенузу катетов a, b. Здесь катеты — разности координат, гипотенуза — длина отрезка.
- Совпадающие точки?
- d = 0. Это допустимо: нулевой отрезок.
- Можно сложить |Δx| и |Δy|?
- Нет, это манхэттенская длина кварталов. Евклид берёт корень суммы квадратов.
- Где хаб?
- Координатная плоскость и планиметрия.