Перпендикуляр к Ax+By+C=0
Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра. Прямая задана общим уравнением Ax+By+C=0, не двумя точками. Коэффициенты A, B, C — числа сетки, как и координаты точки.
Контроль: точка (0; 0), A = 0, B = 1, C = −3 → d = 3. Раздел: координатная плоскость. Прямая y = 3 горизонтальна, перпендикуляр вертикален, длина 3.
Классика 3x+4y−12=0 и начало координат: |−12|/5 = 2,4.
Модуль линейной формы
d = |A x₀ + B y₀ + C| / √(A² + B²)
Числитель — |значение уравнения в точке|. Знаменатель — нормаль √(A²+B²), та же, что длина вектора (A; B). Умножение A, B, C на одно число прямую не меняет и d не меняет.
Обратного хода к C страница не делает: знаков и масштабов много.
Не две точки и не k
Не d между точками. Не угловой коэффициент. Не площадь, хотя S / a даёт высоту к стороне — другая постановка. Не середина.
Не «расстояние между параллельными» двух прямых: одна прямая и одна точка.
Как пользоваться
Пять чисел: x₀, y₀, A, B, C. Ищете d. Не оставляйте A = B = 0.
Родитель планиметрия. Если прямая дана двумя точками, сначала соберите A, B, C в тетради (или k и b), сюда коэффициенты.
Примеры
1. Горизонталь. (0;0), y = 3 → 3.
2. 3-4-5. (0;0) и 3x+4y−12=0 → 2,4.
3. На прямой. (0;3) и y = 3 → 0.
4. Запрет. A = B = 0.
Ещё задачи
Прямая x = 2 это 1·x + 0·y − 2 = 0. Точка (5; 10) → d = 3. Вертикаль для k запрещена, для этой формулы жива: B = 0, A ≠ 0.
Удвоенные коэффициенты 6x+8y−24=0 и (0;0): снова 2,4. Масштаб сократился.
Якорь 2,4 на 3-4-12.
Высота треугольника к стороне-прямой: d от третьей вершины до прямой двух других. Площадь тогда S = a·d/2, a из длины основания.
Не проценты.
Знак C: y = 3 ↔ y − 3 = 0, C = −3, не +3, иначе прямая y = −3.
Связь с k: y = kx+b → A = k, B = −1, C = b. Не забудьте минус у y.
Точка в «другой полуплоскости» даёт тот же d: модуль.
Большие C: 0·x+1·y−1000 и (0;0) → 1000.
Школа: нормаль
Образ: прямая — забор, точка — дом, кратчайшая дорога — перпендикуляр, не вдоль забора.
Памятка: подставить точку в левую часть, модуль, разделить на корень суммы квадратов A и B.
Контроль: начало координат и C, A, B как 3-4-5.
Итог: пять входов, d ≥ 0, A=B=0 нельзя.
Чертёж: прямая, точка, пунктир перпендикуляра, подпись d.
Хаб координат отделяет «до прямой» от «между точками» нарочно: разные входы.
Точка на прямой, оси, A=B=0
Ось x: y = 0 ↔ B = 1, C = 0, A = 0. Точка (7; 4) → d = 4.
Ось y: x = 0. Точка (7; 4) → 7.
Якорь нуля, когда точка на прямой.
Родитель геометрия. Пифагор, если перпендикуляр уже нарисован катетами без уравнения.
Нормировка коэффициентов
Можно заранее разделить A, B, C на √(A²+B²), тогда |A x+B y+C| сразу d. Страница нормирует сама в знаменателе.
Проверка: 3-4-12 и удвоенные 6-8-24.
Не ищите точку проекции. Только длина.
Сосед по двум точкам: d.
d = 0 допустим. Отрицательный d нельзя: модуль.
Если в условии «прямая через две точки», не подставляйте координаты второй точки как A, B, C.
Нормаль (A; B) смотрит в сторону роста Ax+By+C. Расстояние модуль, сторона забора не важна.
Прямая 2x − 2y + 2 = 0 сокращается на 2 до x − y + 1 = 0. d то же. Сокращайте в тетради для красоты, страница не требует несократимости.
Смешать «точка в метрах, C в сантиметрах» нельзя. Как и для длины отрезка, одна шкала.
Расстояние до прямой x cos α + y sin α − p = 0 в нормальном виде уже равно |…| без дополнительного корня, потому что A²+B² = 1. Общий вид страница приводит сама знаменателем.
Не подставляйте три точки треугольника в A, B, C. Сначала уравнение стороны, потом d от третьей вершины — высота.
Полоса между параллельными прямыми — разность двух d от одной точки или d между прямыми по отдельной школьной формуле. Здесь одна прямая.
Если C = 0, прямая через начало. Точка-начало тогда d = 0, что согласуется с подстановкой.
Знаменатель всегда положителен, кроме A = B = 0. Корень из нуля там не «длина 0», а отсутствие прямой.
Горизонталь B = 1, A = 0 сводит d к |y₀ + C|, если C = −y прямой. Проверьте якорь y = 3. Вертикаль x = 2 — симметрично |x₀ − 2|.
Типичные ошибки
- Забыть знаменатель √(A²+B²).
- Положить C = +3 для y = 3.
- Подставить A = B = 0.
- Спутать с расстоянием двух точек.
- Взять k вместо A, B, C без переписывания уравнения.
Соседи: расстояние точек, наклон, площадь, Пифагор.
Частые вопросы
- Как расстояние от точки до прямой?
- d = |A x₀ + B y₀ + C| / √(A²+B²) для Ax+By+C=0. Точка (0;0) и прямая y = 3 (то есть 0·x + 1·y − 3 = 0) дают 3.
- Точка лежит на прямой?
- d = 0. Подстановка в Ax+By+C даёт ноль.
- Почему A = B = 0 нельзя?
- Тогда нет прямой, только странное условие на C. Знаменатель √(A²+B²) обнуляется.
- Это длина между двумя точками?
- Расстояние двух точек не требует A, B, C. Здесь вторая «точка» — целая прямая.
- Можно из углового коэффициента?
- k даёт наклон, не расстояние. Сначала перепишите y = kx+b как kx − y + b = 0, затем эту страницу. k отдельно.
- Где хаб?
- Координатная плоскость и планиметрия.