Где прямая режет оси
Отсечки прямой — точки пересечения с осями координат. Ось x: точка (a; 0). Ось y: (0; b). Прямая задана общим уравнением Ax+By+C=0. Это не две произвольные точки отрезка и не «угол с осью» в градусах.
Контроль: 3x + 4y − 12 = 0 → a = 4, b = 3. Раздел: координатная плоскость. Вертикаль x = 2 (A = 1, B = 0, C = −2) даёт только a = 2: оси y нет в ответе extra.
Горизонталь y = 3 при поиске a — отказ: параллельна оси x.
a = −C/A, b = −C/B
a = −C/A (y = 0), b = −C/B (x = 0)
Подставьте y = 0 в уравнение: A a + C = 0. Подставьте x = 0: B b + C = 0. Знаменатель нуль — этой отсечки нет.
Обратный ход из двух отсечек собирает одно уравнение с масштабом b x + a y − a b = 0. Другой масштаб (умножить на 2) задаёт ту же прямую; страница выбирает этот.
Не наклон и не расстояние до прямой
Не k по двум точкам сетки: отсечки можно перевести в k = −b/a, но поле k здесь нет. Не перпендикуляр из точки. Не длина отрезка между (a;0) и (0;b) — это √(a²+b²), другая задача, в тетради.
Не деление отрезка m:n. Нет 3D.
Как пользоваться
Из A, B, C ищите a (b придёт extra, если B ≠ 0). Из обеих отсечек ищите коэффициент A (B и C — extra). Для обратного хода a и b не нули.
Родитель планиметрия. Если прямая дана двумя точками не на осях, сначала A, B, C в тетради.
Примеры
1. Классика. 3x+4y−12=0 → a = 4, b = 3.
2. Равные отсечки. x+y=2 → a = b = 2.
3. Вертикаль. x = 2 → a = 2.
4. Горизонталь, ищем a. y = 3 — отказ.
5. Обратно. a = 4, b = 3 → 3x+4y−12=0.
6. Не прямая. A = B = 0.
Ещё задачи
Прямая через (2;0) и (0;5): сразу a = 2, b = 5, уравнение 5x+2y−10=0. Не путать порядок: A extra = b = 5.
Ось x сама: y = 0 ↔ B = 1, C = 0, A = 0. Отсечки a нет (ищем a — отказ), b = 0: «пересекает» ось y в начале. Для школьной «отсечки оси x у самой оси x» модель не просит a.
Якорь 4 и 3 на 3x+4y=12.
Связь с k: от (a;0) к (0;b) наклон k = (b−0)/(0−a) = −b/a. Для 4 и 3 получите −3/4. Проверьте в тетради.
Расстояние от начала до прямой: точка (0;0) и те же A, B, C. Для 3-4-12 это 12/5 = 2,4, не отсечка 4.
Не проценты.
Отрицательная отсечка: x − 2y + 4 = 0 → a = −4, прямая режет отрицательную полуось x. Знак не ошибка.
Масштаб 6x+8y−24=0 — та же прямая, что 3x+4y−12=0, отсечки те же 4 и 3.
Через начало C = 0 и A, B не нули: a = b = 0. Обратный ход из нулевых отсечек страница не берёт: форма x/a + y/b ломается.
После отсечек иногда нужна длина гипотенузы от (a;0) до (0;b) — Пифагор или две точки.
Школа: две зарубки
Образ: прямая-линейка пересекает рамку осей в двух засечках. По засечкам можно натянуть нить уравнения.
Памятка: y = 0 даёт a, x = 0 даёт b. Нулевой коэффициент у x или y — одной зарубки нет.
Контроль: 3-4-12 как египетский треугольник отсечек и нормали.
Итог: три коэффициента или две отсечки, вырожденная пара A=B=0 нельзя.
Чертёж: оси, прямая, подписи a на x и b на y.
Хаб координат ставит отсечки рядом с k и с расстоянием до прямой, чтобы не склеить три разных входа.
Горизонталь, вертикаль, через начало
Вертикаль жива для a, мертва для b. Горизонталь наоборот. Через начало обе отсечки нули, если оба A и B ненулевые.
Прямая x = 0 (ось y): A = 1, B = 0, C = 0 → a = 0. Extra b нет.
Якорь отказа: A = 0 при цели a.
Родитель геометрия. Точку не на оси до прямой — соседняя страница расстояния.
От отсечек к Ax+By+C=0
Масштаб выбран так, чтобы при целых a, b коэффициенты были целыми: A = b, B = a, C = −ab. Уравнение x/a + y/b = 1 то же самое.
Проверка: туда-обратно 3x+4y−12=0 ↔ отсечки 4 и 3.
Не ищите k отдельным полем. Нет угла.
Сосед по перпендикуляру: d.
a и b — координаты, безразмерная сетка, как остальные страницы хаба.
Большие отсечки a = 100, b = 50 → 50x + 100y − 5000 = 0, можно сократить на 50 в тетради, страница не сокращает.
Если дали только одну отсечку и k, вторую соберите в тетради: b = −k a, затем сюда пару a, b.
C и отсечка: при B = 0 вертикаль a = −C/A, C = −A a. Согласуйте знаки: x = 2 ↔ x − 2 = 0, C = −2 при A = 1.
Типичные ошибки
- Взять a = C/A без минуса.
- Ждать b у вертикальной прямой.
- Спутать отсечку с расстоянием от начала.
- Собрать A = a, B = b вместо A = b, B = a.
- Подставить A = B = 0.
Соседи: наклон, точка–прямая, расстояние точек, деление отрезка.
Частые вопросы
- Как найти пересечения с осями?
- Для Ax+By+C=0: a = −C/A на оси x (y = 0), b = −C/B на оси y (x = 0). Прямая 3x+4y−12=0 даёт a = 4, b = 3.
- Почему нет пересечения с осью x?
- Если A = 0, прямая горизонтальна (или вырождена). Она параллельна оси x и не режет её, если это не сама ось с противоречием.
- Как собрать уравнение по отсечкам?
- x/a + y/b = 1, равносильно b x + a y − a b = 0. Для a = 4, b = 3 получите 3x+4y−12=0. Нужны оба a ≠ 0 и b ≠ 0.
- Это угловой коэффициент?
- k = Δy/Δx — наклон. Отсечки — точки на осях. Связь: k = −b/a при обеих отсечках, в тетради.
- Расстояние от начала до прямой?
- Формула |C|/√(A²+B²) для точки (0;0). Отсечки сами по себе не длина перпендикуляра.
- Где хаб?
- Координатная плоскость и планиметрия.