Наклон, не угол
Угловой коэффициент прямой на плоскости — отношение вертикального приращения к горизонтальному между двумя её точками. В учебнике часто буква k, иногда m. Поле страницы — k. Это не градусная мера и не уравнение прямой целиком.
Контроль: (0; 0) и (2; 2) → k = 1. Раздел: координатная плоскость. (1; 1) и (3; 7) → 3. Горизонталь (0; 5)–(4; 5) → 0.
Порядок точек не меняет k: Δy и Δx меняют знак вместе. Вертикаль — отказ, не «очень большой k».
k = Δy / Δx
k = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)
Обратно: y₂ = y₁ + k (x₂−x₁) — точка на прямой с данным наклоном. x₂ = x₁ + (y₂−y₁)/k, если k ≠ 0. При k = 0 x из y не следует.
Параллельные прямые имеют равные k. Страница параллельность двух пар точек не сравнивает сама: посчитайте два k в тетради.
Не длина и не градусы
Не d. Не середина. Не расстояние до Ax+By+C=0: там нормаль, не Δy/Δx. Не гипотенуза.
Не производная функции: здесь две точки прямой, не касательная к графику y = x².
Как пользоваться
Две точки → k. Или k, одна точка и вторая абсцисса → ордината. Вертикальную пару не кладите.
Родитель планиметрия. Угол в градусах — в тетради через arctan, если сетка с равными осями.
Примеры
1. Единица. (0;0)–(2;2) → 1.
2. Крутой. (1;1)–(3;7) → 3.
3. Горизонталь. y = 5 → k = 0.
4. Вертикаль. x = 0, две разные y — отказ.
5. y₂. k = 1, (0;0), x₂ = 2 → y₂ = 2.
6. x₂. k = 2, (1;1), y₂ = 5 → x₂ = 3.
Ещё задачи
Спуск: (0; 4) и (2; 0) → k = −2. Отрицательный k — вниз вправо, не «ошибка знака».
Прямая через начало и (5; 1): k = 1/5. Не путать с углом 1/5 градуса.
Якорь единицы на диагонали квадрата сетки.
Перпендикуляр в школьной сетке: k₁ k₂ = −1, если ни одна не вертикальна. Страница одно k, второе в тетради −1/k.
Связь с Ax+By+C=0: у прямой y = kx+b можно переписать kx − y + b = 0, затем расстояние. Не смешивайте поля.
Не уклон в процентах дороги: там 100·Δy/Δx процентов, здесь чистое отношение.
Две точки с одинаковым k, что и третья — коллинеарность. Проверьте равенство двух k.
Мелкая сетка: (0;0) и (100;1) → 0,01. Не округляйте к нулю, если условие держит пологий склон.
После k иногда нужна длина — d независимо.
Школа: подъём на пробег
Образ: лестница. k = 1 — ступень как глубина. k = 0 — пол. Вертикальная стена — не лестница с коэффициентом.
Памятка: разность y над разностью x. Не наоборот, если не ищете cot.
Контроль: смена порядка точек k не меняет.
Итог: четыре координаты или k плюс точка, вертикаль нельзя.
Чертёж: две точки, стрелки Δx и Δy, подпись k.
Хаб координат держит k отдельно от длины, чтобы не склеить Пифагор и тангенс.
Горизонталь, вертикаль, отрицательный k
Параллельность оси x: k = 0, обратный x₂ запрещён. Параллельность оси y: отказ сразу на k.
Четверти: из (1;1) в (−1; −1) k = 1, отрезок в третью четверть, наклон тот же.
Якорь нуля на горизонтали y = 5.
Родитель геометрия. Угол треугольника в градусах — тригонометрия прямоугольного, не эта страница.
Обратный ход точки
Зафиксировали k и x₂ — y₂ однозначен. Зафиксировали k и y₂ при k ≠ 0 — x₂ однозначен. Третьей свободной координаты нет: прямая уже выбрана.
Проверка: туда-обратно (0;0)–(2;2).
Не ищите b из y = kx+b отдельным полем: b = y₁ − k x₁ в тетради.
Сосед по отрезку: середина лежит на той же прямой.
k безразмерный. Не вешайте метры на k.
Большой k вроде 1000 — почти вертикаль, ещё не отказ. Отказ только при Δx = 0.
Уравнение y − y₁ = k (x − x₁) — точечно-наклонная форма. Страница считает k или точку, саму запись «y − …» не собирает строкой.
Две пары с k = 2 и k = −1/2 на ортонормированной сетке перпендикулярны. Проверка произведения в тетради, не третье поле.
Если точки совпали, Δx = Δy = 0: это не вертикаль и не горизонталь, направления нет. Формально Δx = 0, страница откажет как на вертикали. Возьмите разные точки.
Уклон дороги «10 %» ≈ k = 0,1. Страница процентов уклона не пишет: только отношение. Таблицу «процент ↔ градус» не держит.
Из k = 3/4 не следует катеты 3 и 4: это сократимая дробь наклона, длина может быть любой. Длину берите на странице расстояния.
Типичные ошибки
- Поделить Δx на Δy.
- Ждать градусы.
- Подставить вертикаль и ждать число.
- Спутать с длиной отрезка.
- При k = 0 искать x₂ по y.
Соседи: расстояние, точка–прямая, середина, Пифагор.
Частые вопросы
- Что такое угловой коэффициент?
- k = (y₂−y₁)/(x₂−x₁). Точки (0;0) и (2;2) дают k = 1: на каждую единицу вправо — единица вверх.
- Почему вертикаль нельзя?
- x₁ = x₂, деление на ноль. Прямая «стоит», тангенса наклона к оси x нет (он бесконечен). Страница отказывает, а не пишет ∞.
- Это угол в градусах?
- Нет. Угол α связан через k = tg α, но arctan страница не считает. k = 1 соответствует 45° только на ортонормированной сетке — в тетради.
- Горизонталь?
- k = 0. y не меняется. Обратно x₂ из y тогда восстановить нельзя: все x лежат на прямой.
- Связь с расстоянием?
- Длина не определяет k: подобный треугольник длиннее, k тот же.
- Где хаб?
- Координатная плоскость и планиметрия.