Среднее концов
Середина отрезка — точка, равноудалённая от концов по прямой. На координатной плоскости это среднее арифметическое абсцисс и среднее ординат отдельно. Не «середина по длине ломаной» и не центр описанной окружности.
Контроль: (0; 0) и (4; 6) → (2; 3). Раздел: координатная плоскость. yₘ приходит extra, цель по умолчанию — xₘ.
Совпадающие концы: середина совпадает с ними. Это допустимо.
Половины сумм
xₘ = (x₁+x₂)/2, yₘ = (y₁+y₂)/2
Каждая ось независима: ошибка в y не чинится «правильным» x. Обратный ход по x: удвоенная середина минус известный конец.
Дробные координаты нормальны: (1;1) и (2;2) → (1,5; 1,5).
Не отношение m:n и не барицентр
Не деление в отношении 2:1 — там m и n любые положительные. Не центр масс трёх точек. Не длина. Не наклон: середина не знает k. Не площадь по вершинам.
Не медиана треугольника целиком: медиана — отрезок из вершины в середину стороны; здесь только эта середина стороны.
Как пользоваться
Прямой ход: четыре координаты концов, получите пару середины. Обратный x₂: середина x и x₁.
Родитель планиметрия. Длину того же отрезка считайте соседней страницей.
Примеры
1. Прямая. (0;0)–(4;6) → (2;3).
2. Знаки. (1; −1) и (5; 3) → (3; 1).
3. Точка. Оба конца (2;2) → (2;2).
4. Обратный x. xₘ = 2, x₁ = 0 → x₂ = 4.
Ещё задачи
Диагональ квадрата (0;0)–(2;2): середина (1;1) — центр квадрата, если остальные вершины (0;2) и (2;0). Проверка глазами сетки.
Вертикальный отрезок (3;1)–(3;7): середина (3;4). x не меняется.
Якорь (2;3) на паре 0,0 и 4,6.
Медиана из вершины C к стороне AB: сначала эта страница для AB, потом длина от C до середины, если просят длину медианы.
Не среднее списка: там одномерный набор чисел, не пара осей.
Отрицательная полуплоскость: (−4; −6) и (0;0) → (−2; −3). Знак середины как у среднего, не модуль.
Связь с k: середина лежит на прямой концов, k тот же, но страница k не считает.
Два конца симметричны относительно середины. Проверка: x₁ + x₂ = 2 xₘ.
Не путать с S = ah/2: высота сюда не входит.
Школа: середина линейки
Образ: линейка от A до B, палец на половине сантиметров — это не половина «номера клетки», если клетки неравные, но на равномерной сетке совпадает со средним координат.
Памятка: две независимые половины. Не делить длину пополам в уме вместо координат.
Контроль: концы симметричны. Сумма концов = удвоенная середина.
Итог: четыре входа, две координаты середины, обратный конец по одной оси.
Чертёж: отрезок, точка посередине, подписи средних.
Хаб координат отделяет середину от деления в произвольном отношении.
Вертикаль, совпадение, обратный конец
Горизонталь y = const: yₘ равен этой константе. Скучно и верно.
Обратный x₂ не требует y: оси разделены. Если в условии дали только y-середину, x₂ так не найти.
Якорь симметрии 2xₘ = x₁+x₂.
Родитель геометрия. Пифагор без координат — соседний хаб треугольника.
Две координаты сразу
Extra yₘ считается всегда при прямом ходе, даже если цель xₘ. Не оставляйте y «на потом в уме» — сверка extra.
Проверка: туда-обратно (0;0)–(4;6) и x₂ из середины.
Не ищите z. Плоскость.
Сосед по длине: d.
Дроби 1/2 в формуле — не проценты и не процент от числа.
Большие координаты: середина (1000; −800) и (0;0) → (500; −400), без «переполнения сетки».
Середина диагоналей параллелограмма совпадает — школьный признак. Две середины двух диагоналей должны совпасть; страница считает одну пару концов за раз.
Если концы даны как «A левее на 3, выше на 8», сначала восстановите числа x, y, не делите 3 и 8 пополам вслепую без знака направления.
Точка M середина AB тогда AM = MB по длине. Это можно проверить двумя равными d, страница середины равенство длин сама не печатает.
В векторах M = (A+B)/2. Не путать с (A−B)/2 — это половина направленного отрезка от B к A, не точка середины.
Середина как «центр масс двух равных грузов» на концах. Третий груз — уже центроид, не сюда.
Построение циркулем «серединный перпендикуляр» ищет другую прямую. Эта страница даёт точку, не перпендикуляр.
Дробь ½ в формуле — деление суммы, не «взять половину большей координаты».
Типичные ошибки
- Сложить координаты и не делить на 2.
- Делить длину пополам вместо средних x и y.
- Считать центроид трёх точек.
- Перепутать с отношением 2:1.
- Взять модуль и потерять знак середины.
Соседи: расстояние, наклон, площадь по вершинам, Пифагор.
Частые вопросы
- Как найти середину отрезка?
- xₘ = (x₁+x₂)/2, yₘ = (y₁+y₂)/2. Концы (0;0) и (4;6) дают (2;3).
- Можно найти второй конец?
- x₂ = 2 xₘ − x₁. Середина и один конец задают другой по этой оси. yₘ страница показывает как extra при прямом ходе.
- Это центр треугольника?
- Нет. Три вершины — другая точка (центроид). Здесь ровно два конца отрезка.
- Деление 1:2?
- Нет, только равные половины. Отношение m:n — деление отрезка.
- Связь с длиной?
- Расстояние считает d, середина d не использует. Можно знать середину и не знать длину.
- Где хаб?
- Координатная плоскость и планиметрия.