AP:PB = m:n внутри отрезка
Точка P делит отрезок AB внутренне в отношении m:n, если длины AP и PB относятся как m к n. P лежит на отрезке, не на продолжении. Концы A = (x₁; y₁), B = (x₂; y₂). Это не «отрезать m клеток и n клеток по осям порознь без формулы».
Контроль: m = n = 1, концы (0; 0) и (4; 6) → (2; 3), как середина. Раздел: координатная плоскость. m = 1, n = 2 на (0;0)–(3;0) → x = 1: треть пути от A к B.
Поле y при прямом ходе приходит extra. Цель по умолчанию — x.
Взвешенное среднее концов
x = (n x₁ + m x₂)/(m+n), y = (n y₁ + m y₂)/(m+n) при AP:PB = m:n
Вес конца A равен n, вес B равен m, сумма весов m+n. Это барицентрические координаты на отрезке. Обратный ход по x: из точки P, конца A и отношения собираете x₂.
m и n больше нуля. Нуль и минус страница отвергает: иначе P уехала бы в конец или за конец.
Не середина вслепую и не внешнее деление
Не всегда половины без проверки m и n. Не длина как замена отношения: d не говорит, где P. Не наклон. Не центроид трёх точек и не площадь.
Внешняя точка с минусом в отношении — не эта модель. Нет 3D.
Как пользоваться
Прямой ход: четыре координаты концов и две части отношения. Обратный x₂: x точки, x₁, m, n. Единицы сетки одни и те же.
Родитель планиметрия. Если в условии «пополам» — быстрее середина, здесь тоже сработает при 1:1.
Примеры
1. Середина. 1:1, (0;0)–(4;6) → (2;3).
2. Ближе к A. 1:2, (0;0)–(3;0) → (1;0).
3. Ближе к B. 2:1, те же концы → (2;0).
4. Обратный B. x = 1, x₁ = 0, 1:2 → x₂ = 3.
5. Запрет. n = 0.
Ещё задачи
Медиана треугольника: середина стороны — 1:1, не 1:2. Отношение 1:2 на медиане было бы уже не середина, а другая точка.
Золотое сечение в школе иногда маскируют как ≈1:1,618. Сюда кладите положительные числа, хоть 1000:1618, не φ отдельным полем.
Якорь трети: 1:2 от (0;0) к (3;0) садится в x = 1, не в x = 1,5. Полторы — это 1:1 на том же отрезке длины 3.
Проверка длинами: AP / PB должно равняться m/n. Считайте два расстояния после того, как нашли P.
Не проценты «пройти 30 % пути»: 30:70 это 3:7, сократите и кладите m, n.
Вертикальный отрезок: x₁ = x₂, точка сохраняет x, y делится тем же отношением. Формула не ломается.
Знаки четвертей: (−4; 2) и (2; −4) при 1:1 → (−1; −1). Веса не модули координат.
Связь с k: P лежит на прямой AB, k тот же. Страница k не печатает.
Две части 3:5 и 6:10 — одно отношение. Сокращать не обязательно, ответ совпадёт.
Если учитель сказал «делит пополам длину», это 1:1 по длине и по параметру сразу, потому что параметр линейный. Не путать с половиной Δx при косом отрезке без формулы — тогда ошибётесь в y.
Школа: доли пути
Образ: дорога от A до B, столбик на доле m/(m+n) пути. Не «m шагов по x и n по y».
Памятка: к дальнему концу — больший вес у этого конца. К B тянет m.
Контроль: 1:1 совпадает с серединой. 1:2 — треть от A.
Итог: концы, две положительные части, точка между ними.
Чертёж: отрезок, точка ближе к меньшему числу отношения со стороны противоположного конца… проще: подпишите AP = m, PB = n.
Хаб координат держит произвольное отношение отдельно от середины, чтобы не смешать два запроса.
m=n, ближе к A, ближе к B
m>n — P ближе к B. m<n — ближе к A. Равенство — середина.
Отрезок-точка: A = B, любая m:n даёт ту же точку. Скучно и верно.
Якорь (2;3) на 1:1 с (0;0)–(4;6).
Родитель геометрия. Длину всего AB, если спросят, берите соседней страницей.
Обратный конец
Из P, A и m:n однозначно восстанавливается B по каждой оси отдельно. Extra y прямого хода при обратном x₂ не нужен.
Проверка: туда-обратно 1:2 на (0;0)–(3;0).
Не ищите внешнюю точку. Нет отрицательного n.
Сосед по половинам: середина.
m и n безразмерны. Не вешайте метры на части отношения.
Большие доли 100:200 те же, что 1:2, но числитель и знаменатель крупнее — ответ тот же, не «точнее».
Если в условии λ = AP/PB одним числом, это m/n: можете взять m = λ, n = 1.
Совпадение P с A потребовало бы m = 0, страница это запрещает. Конец отрезка берите как сам конец, не через деление.
Типичные ошибки
- Перепутать, какой вес у A, какой у B.
- Считать 1:2 как середину трети отрезка в x = 1,5.
- Подставить отрицательное отношение «внешней» точки.
- Делить Δx в отношении и забыть ту же долю для y.
- Спутать с центроидом треугольника.
Соседи: середина, расстояние, наклон, площадь по вершинам.
Частые вопросы
- Как разделить отрезок в отношении m:n?
- Если AP:PB = m:n, то x = (n x₁ + m x₂)/(m+n), так же y. Точка лежит между A и B. m = 1, n = 2 на (0;0)–(3;0) даёт x = 1.
- Почему в числителе n у A и m у B?
- Чем больше n, тем сильнее точка тянется к A: n — «вес» конца A. Середина: оба веса равны.
- Это то же, что середина?
- Середина — частный случай m = n. Произвольное отношение считайте здесь.
- Можно внешнее деление?
- Нет. m и n строго положительны, точка между концами. Знак минус в отношении — другая школьная формула, не эта страница.
- Как найти второй конец?
- x₂ = ((m+n)x − n x₁)/m. Зная точку деления, первый конец и отношение, восстанавливаете B по оси x.
- Где хаб?
- Координатная плоскость и планиметрия.