Три вершины, без высоты
Площадь треугольника по координатам вершин — школьная «формула шнурка»: знакопеременная сумма, модуль, половина. Высоту проводить не нужно. Стороны тоже не обязательны, хотя их можно получить как три расстояния.
Контроль: (0; 0), (4; 0), (0; 3) → 6. Раздел: координатная плоскость. Это прямоугольный треугольник с катетами 4 и 3, S = 6, как половина 4·3.
Единица площади — квадрат единицы сетки. Если x, y в клетках, S в клетках².
Шнурок / знакопеременная сумма
S = ½ |x₁(y₂−y₃) + x₂(y₃−y₁) + x₃(y₁−y₂)|
Сумма x₁(y₂−y₃)+… равна удвоенной ориентированной площади. Модуль снимает ориентацию обхода. Обратного хода к одной вершине страница не делает: решений бесконечно много.
Нулевая площадь — три точки на одной прямой, в том числе совпадающие.
Не ah/2 и не Герон
Не основание и высота без координат. Не три стороны без сетки. Не длина одной стороны. Не середина как площадь.
Не объём и не стереометрия.
Как пользоваться
Шесть чисел — три вершины. Ищете только S. Порядок вершин произвольный.
Родитель планиметрия. Если высоты даны словами, удобнее ah/2.
Примеры
1. Катеты по осям. (0;0)(4;0)(0;3) → 6.
2. Прямая. (0;0)(1;0)(2;0) → 0.
3. Сдвиг. (1;1)(4;1)(1;5) → 6.
Ещё задачи
Равносторонний на сетке точно не сядет всеми вершинами в целые клетки. Не ждите «красивую» S = a²√3/4 без иррациональности, если вершины целые — площадь будет кратна 1/2.
Четырёхугольник разбейте на два треугольника и сложите две S. Самопересечение страница не ловит.
Якорь шестёрки на (0,0)(4,0)(0,3).
После площади иногда просят высоту к стороне: h = 2S / a, a из расстояния.
Не проценты «сколько площади от квадрата» — сначала две площади, потом доля.
Ориентация: обход (0;0)→(4;0)→(0;3) против часовой, сумма положительная до модуля. Обратный обход — минус, S та же.
Тупой угол: формула всё равно верна, высота вне отрезка основания не нужна.
Связь с k: две стороны с равным k — коллинеарность, S = 0.
Большие вершины (0;0)(400;0)(0;300) → 60000. Не делите «на глаз на 2» дважды.
Школа: определитель на пальцах
Образ: запишите столбиком координаты, повторите первую строку снизу, крест-накрест как учили для «шнурка». Модуль половины — площадь.
Памятка: шесть чисел, не три стороны. Высоту не выдумывать.
Контроль: прямоугольный на осях = половина произведения катетов.
Итог: только S, вырождение в 0 можно.
Чертёж: три точки, штриховка треугольника, подпись S.
Хаб координат рядом с треугольником, потому что ah/2 живёт там, шнурок — здесь.
Коллинеарность, порядок, знак
Три точки на y = 2x: S = 0. Проверка коллинеарности без k: достаточно площади.
Совпадение двух вершин: тоже 0, это отрезок, не треугольник.
Якорь нуля на оси x.
Родитель геометрия. Герон, если учитель дал длины, а не сетку.
Модуль половины
Страница не показывает ориентированную площадь со знаком. Если в задаче на ориентацию нужен знак, снимите модуль в тетради с той же суммой.
Проверка: сдвиг всех вершин на (1;1) площадь не меняет.
Не ищите периметр. Сумма сторон — три расстояния.
Сосед по стороне: d.
S ≥ 0 всегда. Отрицательную площадь поле не вернёт.
Половина нечётной целой суммы даёт *.5 — нормально для целочисленной сетки.
Векторное «половина модуля векторного произведения AB × AC» — та же формула в других буквах. Не нужно вводить векторы отдельными полями.
Сдвиг и поворот сетки площадь сохраняют, растяжение оси x вдвое — нет. Страница не знает, растянули ли вы чертёж в тетради.
Четыре точки квадрата (0;0)(1;0)(1;1)(0;1) режьте на два треугольника по 0,5, сумма 1. Не кладите четыре вершины в шесть полей.
Формула работает и для тупого, и для острого. Не проверяйте неравенство треугольника: на сетке три точки всегда «треугольник или вырождение», третьего не дано.
Если учитель просит «ориентированную площадь» со знаком, снимите модуль. Для обычной площади модуля достаточно, знак обхода в ответ не входит.
Целочисленная сетка Пика: S = В + Г/2 − 1. Шнурок не заменяет формулу Пика и не считает внутренние узлы.
Повтор вершины дважды в разных полях даёт S = 0. Это вырождение, не «удвоенный треугольник».
Типичные ошибки
- Забыть 1/2.
- Забыть модуль и получить минус.
- Подставить стороны вместо координат в эту формулу.
- Ждать высоту как вход.
- Спутать с объёмом.
Соседи: ah/2, Герон, расстояние, середина.
Частые вопросы
- Как площадь по координатам вершин?
- S = ½ |x₁(y₂−y₃) + x₂(y₃−y₁) + x₃(y₁−y₂)|. Вершины (0;0), (4;0), (0;3) дают 6.
- Точки на одной прямой?
- S = 0. Это не ошибка ввода: вырожденный «треугольник».
- Нужна высота?
- Нет. Высоту к основанию считает S = a h / 2. Здесь только три пары координат.
- Порядок вершин важен?
- Для модуля площади нет: обход по часовой или против меняет знак суммы, модуль один. Страница берёт модуль.
- Где хаб?
- Координатная плоскость и планиметрия.