Ведро: два радиуса и высота
Усечённый конус — то, что останется, если у полного конуса срезать маленький конус параллельно основанию. Объём V = π h (R² + R r + r²) / 3. Хаб: стереометрия.
Тест: R = 2, r = 1, h = 3 → V = 7π.
V = π h (R² + R r + r²) / 3
V = π h (R² + R r + r²) / 3
Вывод: большой конус минус малый. Высоты подобны радиусам. После алгебры получается скобка R²+Rr+r², не «полусумма площадей на h» вслепую: среднее не (πR²+πr²)/2 · h, это было бы слишком грубо (получилось бы 7,5π/3? нет: (4π+π)/2 · 3 = 7,5π, а точно 7π).
Обратный ход находит h или больший радиус R.
Не полный конус и не цилиндр без проверки
Полный конус π r² h / 3 — один радиус. Цилиндр π r² h. Призма A h без π.
Как пользоваться
Выберите искомую величину, введите остальные. Длины и площади согласуйте по единицам. Раздел: стереометрия.
Примеры
Прямая. 2, 1 и 3 → 7π.
Высота. V = 7π, R=2, r=1 → 3.
R. V = 7π, r=1, h=3 → 2.
Запрет. h = 0.
Ещё задачи
Ведро: снизу 30 см, сверху 25 см в диаметре, высота 28 см. Радиусы 0,15 и 0,125 м, h=0,28, V = π·0,28·(0,0225+0,01875+0,015625)/3 ≈ 0,0166 м³ ≈ 16,6 л. «Десятилитровое» ведро меньше из‑за стенок и неполного налива.
Абажур, цветочный горшок, градирня-идеализация — тот же усечённый конус. Смотрите, что именно объём «внутри» или материал стенок (разность двух усечённых).
Не берите среднее арифметическое радиусов и не считайте как цилиндр π r_ср² h: для 2 и 1 среднее 1,5, π·2,25·3=6,75π, не 7π. Ошибка заметная.
Не берите среднее площадей: (4π+π)/2 · 3 = 7,5π, тоже мимо. Нужна ещё «смешанная» Rr.
Обратный ход: цистерна-усечённый 2 м³, R=0,8, r=0,5 → h = 6 / (π(0,64+0,4+0,25)) ≈ 1,48 м.
Срезали конус: большой h1, r1, маленький h2, r2= r1·h2/h1. Разность объёмов должна совпасть с формулой усечённого при h=h1−h2, R=r1, r=r2.
Школа: запомнить скобку «квадрат, произведение, квадрат». Как неполный квадрат (R+r)² = R²+2Rr+r², но здесь Rr один раз, не два.
Единицы: оба радиуса и высота в метрах. Диаметры делите на два. Смешать см и м в R и r — ломает скобку.
Конус r=0 в калькуляторе: V = π h R² / 3, проверьте страницей конуса. Цилиндр r=R: страница цилиндра.
Усечённая пирамида (два подобных многоугольника) — другая формула V = h/3 (A+√(A a)+a). Не ставьте π к квадратным основаниям.
Лежачее ведро: «высота» в формуле — вдоль оси, не уровень налитой воды. Налив лежа — сегменты, не эта страница.
Два усечённых друг на друге: объёмы складываются, стыковочные радиусы должны совпасть.
Проверка порядком: V между π r² h и π R² h. Для теста π·1·3=3π снизу по малому, 12π по большому как цилиндры; 7π внутри интервала. Если вышло 20π — лишний множитель.
Толщина стенок горшка: наружный усечённый минус внутренний. Четыре радиуса и две высоты почти равны — два вызова.
Школа и подобье
Подобные конусы: радиусы относятся как высоты от вершины. Срезали на высоте k от вершины, остался усечённый высоты H−k. Формула страницы не просит вершину: достаточно двух оснований и h между ними. Это удобнее горшка, у которого вершины «в земле нет».
Среднее арифметическое радиусов в цилиндре-оценке врёт, среднее площадей тоже. Правильное «среднее» — (R² + R r + r²)/3, уже встроено. Запомните скобку, не выдумывайте среднее.
Лабораторный стакан конический: градуировка не линейна по высоте. Налили до половины высоты — не половина объёма. У полного конуса доля (x/h)³; у усечённого ещё сложнее. Калькулятор даёт полный сосуд до краёв геометрических оснований.
Ведро на чертеже: диаметры 20 и 30, высота 25. Радиусы 10 и 15 см. Переведите в метры или считайте см³: π·25·(225+150+100)/3 = π·25·475/3 ≈ 12435 см³ ≈ 12,4 л.
Усечённая пирамида с квадратами A и a: V = h/3 (A + √(Aa) + a), без π. Не ставьте эту скобку к кругам и не ставьте π к квадратам.
Проверка пределами: r→R даёт цилиндр, r→0 даёт конус. Численно прогоните оба соседних калькулятора. Если усечённый выбился, ищите лишнюю двойку у Rr.
Горшок с поддоном: внутренний объём земли — внутренние радиусы. Наружный габарит для упаковки — наружные. Не мешайте линейкой снаружи и считайте, сколько земли влезет.
Конусный переход вентиляции: два воздуховода разных диаметров, длина перехода как h. Объём воздуха внутри — эта формула. Металл стенок — поверхность усечённого, которой на этой странице нет.
Типичные ошибки
- Считать как цилиндр со средним радиусом.
- Забыть скобку Rr.
- Подставить диаметры как радиусы.
- Спутать с полным конусом.
- Нулевая высота.
Соседи: конус, цилиндр, пирамида, призма.
Частые вопросы
- Какая формула объёма усечённого конуса?
- V = π h (R² + R r + r²) / 3. R и r — радиусы двух оснований, h — расстояние между ними.
- Если верхний радиус 0?
- Получается полный конус π R² h / 3. Формула это допускает.
- Если радиусы равны?
- Цилиндр π R² h. Подставьте r = R: R²+R²+R² = 3R², πh·3R²/3 = π R² h.
- Это усечённая пирамида?
- Нет. У пирамиды основания — многоугольники. Здесь круги. Формула с π.
- Как найти высоту?
- h = 3V / (π(R² + R r + r²)). Нулевые оба радиуса запрещены.
- Высота 0?
- Запрещена: два круга в одной плоскости.