Смесь по полной группе гипотез
Полная вероятность: P(A)=Σ P(A|Hᵢ)P(Hᵢ), Σ P(Hᵢ)=1. Тест: 0,4·0,8 + 0,6·0,1 = 0,38. Хаб: вероятность.
Гипотезы — разбиение. Не одно условие и не сразу апостериори Байеса.
P(A) = Σ P(A|Hᵢ) P(Hᵢ)
P(A) = Σ P(A|Hᵢ) P(Hᵢ)
Искомое P(A). Сумма P(H) ≠ 1 — ошибка.
Не одно P(A|B) и не Байес без суммы
Не апостериори. Не одно P(A|B). Не произведение двух безусловных.
Как пользоваться
Строки P(Hᵢ) и P(A|Hᵢ). Раздел: вероятность.
Примеры
Две. 0,4×0,8 + 0,6×0,1 → 0,38.
Равные условные. Любое разбиение при P(A|H)=0,5 даёт 0,5.
Запрет. Сумма H = 0,8.
Ещё задачи
Две урны: выбрать урну 1/2, затем шар. Сложите доли.
Завод две линии. Сначала эта страница для P(брак), потом Байес «с какой линии».
Погода: дождь 0,3, P(пробка|дождь)=0,6, P(пробка|ясно)=0,2 → P(пробка)=0,32.
Три гипотезы: три строки, сумма H=1.
Не ставьте частоты людей без долей.
Лаборатория: смесь двух генераторов Бернулли, сравните частоту единиц с формулой.
Нулевая гипотеза с ненулевым условным не вкладывается.
Связь с деревом: сумма листьев A.
Задача: диагноз редкий 1%, тест чувствительность 0,9, ложные 0,05. P(положительный)=0,9·0,01+0,05·0,99=0,0585. Затем Байес.
Непрерывные плотности смеси — не эта таблица.
Проверка: результат между мин и макс условных.
Не используйте как «среднее мнение экспертов» без разбиения мира.
Дополнение A: 1−P(A) после этой страницы.
Если гипотезы пересекаются, формула врёт. Нужно разбиение.
Итог: взвешенные условные, веса — вероятности гипотез, сумма весов 1.
Школа: гипотезы несовместны и покрывают всё
Формула следует из аддитивности по разбиению и определения условия.
Итог: закон полной вероятности, не Байес.
Чертёж: корень гипотез, ветки A, сложить листья A.
Школа забывает проверить сумму H.
Лабораторный отчёт: две урны, оценка P(A) vs формула.
Памятка: Байес берёт это P в знаменатель; одно условие — сосед; E(X) — смесь значений, не событий.
Проверка суммы H до расчёта.
Несовместность Hᵢ обязательна. «Болен / не болен» подходит, «грипп / орви» без остальных — нет.
Связь с ожиданием индикатора: E(1_A)=P(A), смесь как E.
Не ставьте апостериори в поле априори H.
Счёт гипотез больше двух — добавляйте строки, не новую страницу.
Итоговая памятка: разбили мир, взвесили условные.
Три урны с разными долями красного: сначала выбрать урну (сумма 1), затем шар. Листья красного сложить.
Диагноз: болен / не болен — удобное разбиение на два. «Грипп / орви / остальное» — три строки, «остальное» обязательно.
После P(A) откройте Байес, подставьте это P как знаменатель, числитель — одна гипотеза.
Если все условные равны p, смесь равна p при любом разбиении. Проверка формулы.
Пересекающиеся «молодёжь» и «студенты» нельзя ставить как Hᵢ без остатка мира.
Непрерывный параметр гипотезы — интеграл, не эта таблица.
Проверка: P(A) лежит между наименьшим и наибольшим P(A|H).
Итог журнала: разбили мир, взвесили условные, сумма весов 1, затем при нужде Байес.
Ещё про полная вероятность, сюжет 1: учебный стенд с датчиком случайных чисел. Это не замена основной формулы, а проверка, что вы не перепутали страницу и единицы.
Ещё про полная вероятность, сюжет 2: тетрадь с таблицей частот на 200 опытов. Это не замена основной формулы, а проверка, что вы не перепутали страницу и единицы.
Ещё про полная вероятность, сюжет 3: задача из сборника без сюжета казино. Это не замена основной формулы, а проверка, что вы не перепутали страницу и единицы.
Ещё про полная вероятность, сюжет 4: лабораторный журнал пары студентов. Это не замена основной формулы, а проверка, что вы не перепутали страницу и единицы.
Ещё про полная вероятность, сюжет 5: схема дерева исходов на доске. Это не замена основной формулы, а проверка, что вы не перепутали страницу и единицы.
Ещё про полная вероятность, сюжет 6: проверка размерности: вероятность без единиц. Это не замена основной формулы, а проверка, что вы не перепутали страницу и единицы.
Ещё про полная вероятность, сюжет 7: сравнение с соседней формулой вручную. Это не замена основной формулы, а проверка, что вы не перепутали страницу и единицы.
Ещё про полная вероятность, сюжет 8: контрольный пример с нулём и единицей. Это не замена основной формулы, а проверка, что вы не перепутали страницу и единицы.
Ещё про полная вероятность, сюжет 9: перевод процентов в доли до ввода. Это не замена основной формулы, а проверка, что вы не перепутали страницу и единицы.
Ещё про полная вероятность, сюжет 10: запрет подставлять частоты 17 из 80 без деления. Это не замена основной формулы, а проверка, что вы не перепутали страницу и единицы.
Ещё про полная вероятность, сюжет 11: напоминание, что страница не генератор случайных. Это не замена основной формулы, а проверка, что вы не перепутали страницу и единицы.
Ещё про полная вероятность, сюжет 12: проверка неравенств 0 ≤ P ≤ 1 после ответа. Это не замена основной формулы, а проверка, что вы не перепутали страницу и единицы.
Ещё про полная вероятность, сюжет 13: запись ответа обыкновенной дробью рядом с десятичной. Это не замена основной формулы, а проверка, что вы не перепутали страницу и единицы.
Ещё про полная вероятность, сюжет 14: указание, что модель идеальная, без скрытых корреляций. Это не замена основной формулы, а проверка, что вы не перепутали страницу и единицы.
Ещё про полная вероятность, сюжет 15: итог для отчёта: формула, числа, смысл, не совет. Это не замена основной формулы, а проверка, что вы не перепутали страницу и единицы.
Типичные ошибки
- Сумма H не 1
- Спутать с Байесом
- Пересекающиеся гипотезы
- Одно условие
- Частоты без долей
Соседи: Байес, условие, независимость, дополнение, пропорция
Частые вопросы
- Какая формула полной вероятности?
- P(A) = Σ P(A|Hᵢ) P(Hᵢ). Сумма P(Hᵢ)=1.
- Две гипотезы 0,4 и 0,6, условные 0,8 и 0,1?
- P(A)=0,38.
- Зачем это Байесу?
- Часто так получают знаменатель P(B).
- Сумма гипотез не 1?
- Стопор. Дополните последнюю или исправьте.
- Это независимость?
- Нет. Условные P(A|H) как раз про зависимость от гипотезы.
- Где хаб?
- Вероятность.