Одна порция, три величины
Объединённый газовый закон следит за одной и той же порцией идеального газа, когда меняются давление, объём и температура сразу. Моли не входят: они сократились, раз n слева равно n справа. Постоянная R тоже сократилась.
Контроль: p₁ = 2, V₁ = 3, T₁ = 100, p₂ = 1, T₂ = 200 → V₂ = 12. Раздел: газы. Температуру удвоили и давление уменьшили вдвое — объём вырос вчетверо относительно «только Бойля».
Это не «ещё одно имя для pV = nRT». Уравнение состояния нужно, когда просят n, когда порцию доливают, когда сравнивают два разных баллона с разным n.
p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
V₂ = p₁ V₁ T₂ / (T₁ p₂)
Шесть полей. По умолчанию кПа, литры, кельвины. Искать можно любое из шести. R нет — и не появится.
Нули p, V, T запрещены. Отрицательные значения не принимаются.
Не PV = nRT
Не Менделеев — Клапейрон: там одно состояние и моли. Не подставляйте R «для точности» — его некуда поставить. Не n = m/M внутри этой формулы: масса не входит, пока n не меняют.
Не три отдельные страницы сразу: если учитель явно сказал «изотерма», быстрее Бойль с четырьмя полями, меньше шансов забыть T.
Как пользоваться
Расставьте «было» на индекс 1 и «стало» на индекс 2. Переведите оба T в кельвины. Пустым оставьте одну величину. Если две неизвестные — данных мало, страница не решит систему.
Родитель химия. Если n всё-таки меняется (подкачали, выпустили) — только уравнение состояния по каждому состоянию отдельно.
Примеры
1. Объём. p₁ = 2, V₁ = 3, T₁ = 100, p₂ = 1, T₂ = 200 → V₂ = 12.
2. Давление. те же, V₂ = 12 → p₂ = 1.
3. Температура. V₂ = 12, p₂ = 1 → T₂ = 200.
4. Начало p. «стало» 1, 12, 200 и V₁ = 3, T₁ = 100 → p₁ = 2.
5. Запрет. T₁ = 0.
Ещё задачи
Пузырёк 2 мл на глубине при 250 кПа и 280 K всплыл к поверхности 100 кПа и 290 K. V₂ = 2 × 250 × 290 / (280 × 100) ≈ 5,2 мл. Гидростатику 250 кПа мог дать столб воды, затем числа сюда.
Камера 4 л, 120 кПа, 290 K. Сжали до 1 л и нагрели до 350 K. p₂ = 120 × 4 × 350 / (290 × 1) ≈ 579 кПа. Не забудьте оба T в кельвинах.
Якорь 12 при двойке, тройке, сотне, единице и двухсот. Если вышло 6, забыли удвоение T. Если 24 — лишний множитель.
Зонд: p падает, T падает, оболочка растёт. Все три меняются — как раз эта страница, пока гелий не стравливают (n const).
Связь с pV = nRT: запишите nR = p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂. Объединённый закон — равенство двух записей одной порции.
Если T₁ = T₂, сократите температуры и проверьте Бойлем: p₁V₁ = p₂V₂. Страница и так даст верный V₂, но лишние поля T можно не выдумывать, когда они равны.
Не смешивайте мм рт. ст. на старте и кПа на финише без переключателя единиц. Отношения спасают, только если обе точки в одной шкале.
Два баллона, соединённые краном — n перетекает. Объединённый закон на «каждый баллон как будто одна порция до открытия» ещё можно, после открытия нужна сумма n и общее уравнение состояния.
После V₂ часто просят плотность. ρ₂/ρ₁ = (p₂/p₁)·(T₁/T₂) при том же n и M. Плотность страница не печатает; отношение соберите в тетради, ρ возьмите из m/V, если есть масса.
Не кладите цельсиеву дельту вместо T₂. «Нагрели на 20 градусов» при старте 300 K → T₂ = 320 K, не T₂ = 20.
Школа: три частных случая
Положите T₁ = T₂ — останется Бойль. Положите V₁ = V₂ — останется Шарль (p/T). Положите p₁ = p₂ — останется Гей-Люссак (V/T). Одна формула, три имени процессов.
Памятка: шесть чисел, n тот же, T абсолютная.
Контроль все единицы «учебные»: 1, 1, 1, 2, 2 → T₂ = 4, потому что pV/T сохраняется: 1·1/1 = 2·2/T₂.
Итог: не ищите моли здесь, не ищите R.
Чертёж: два облака состояний «1» и «2», стрелка процесса, подписи p, V, T на каждом, без R.
Хаб газов ставит эту страницу после трёх частных, чтобы было куда уйти, когда условие не чистое.
Зонд, компрессор, камера
Компрессор меняет p и V, T часто растёт. Учебник может велеть «считать изотермически» — тогда Бойль. Если даны оба T — сюда.
Вакуумная камера: откачка меняет n, объединённый закон молчит. Падение p при закрытом насосе и нагреве стенок — уже да, n const.
Якорь 12 из набора 2, 3, 100, 1, 200.
Родитель химия. Моли снаружи: n = m/M, затем при желании проверка через pV = nRT на каждой точке.
Что сокращается
Из pV = nRT следует pV/T = nR. Для одной порции nR одно и то же, отсюда равенство двух дробей. Если баллон подкачали, nR выросло — равенство ложно.
Проверка размерности: pV/T имеет размерность nR, но мы её не вычисляем, только приравниваем две комбинации.
Не ищите R. Нет поля R. Для R (в тетради) возьмите уравнение состояния и одну точку.
Соседи по частным процессам: Бойль, Шарль, Гей-Люссак.
Единицы T только кельвин: перевод цельсия множителем не делается, нужна сумма 273,15. Поэтому в списке единиц нет °C.
Если известны пять из шести — страница. Если четыре — либо не хватает, либо спрятан частный случай (какая-то пара равна).
Типичные ошибки
- Подставить °C.
- Добавить R «на всякий случай».
- Считать две разные порции одной формулой.
- Нулевая температура или нулевой объём.
- Перепутать индексы «было» и «стало».
Соседи: PV = nRT, три частных закона, n = m/M.
Частые вопросы
- Какая формула объединённого газового закона?
- p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂ при постоянном количестве вещества. Температуры в кельвинах.
- Чем отличается от PV = nRT?
- Уравнение состояния явно содержит n и R. Здесь молей нет: сравнивают два состояния одной порции.
- Когда это просто Бойль?
- Если T₁ = T₂, остаётся p₁V₁ = p₂V₂. Если V const — Шарль. Если p const — Гей-Люссак.
- Сколько полей заполнять?
- Пять известных, одно искомое. Шесть величин: два p, два V, два T.
- Можно °C?
- Нет. Оба конца в кельвинах. Смешать кельвин и цельсий в одной задаче нельзя.
Источники
- BIPM. The International System of Units (SI). Кельвин — единица термодинамической температуры.
- CODATA. Molar gas constant R = 8,314462618 Дж/(моль·К).
- Учебная молекулярная физика: уравнение Клапейрона — Менделеева, законы Бойля — Мариотта, Шарля и Гей-Люссака.