Вылет с высоты θ = 0°
Горизонтальный бросок: тело покидает выступ, башню или край стола с начальной скоростью v строго вбок, без подъёма вверх. Угол к горизонту 0°. Время падения до земли t = √(2y/g), дальность x = v t = v √(2y/g), где y — высота над уровнем приземления, g — ускорение свободного падения. Раздел: кинематика.
Модель без сопротивления воздуха; g постоянно; плоская земля на уровне y = 0. Не бросок под углом с земли R = v₀² sin(2θ)/g — там старт и финиш на одной высоте и угол ненулевой. Не время полёта T = 2 v₀ sin θ/g на ровном поле — здесь приземление ниже старта.
Конвейер сбрасывает коробку, камень с обрыва, пакет с самолёта на малой высоте — классические картинки. В лаборатории — шарик с края стола, пружинный pusher задаёт v, высота стола известна.
Калькулятор находит x, y, v или t. Независимость движений по осям — центральная идея: вертикаль как падение из покоя, горизонталь как равномерное v = const.
t = √(2y/g), x = v t
x = v √(2y / g)
Вертикаль: v_y0 = 0, a_y = −g, путь y вниз. Из y = g t² / 2 получают t = √(2y/g). Горизонталь: a_x = 0, x = v t. Объединяя: x = v √(2y/g). Обратный ход по v: v = x / √(2y/g). Обратный ход по y: y = g (x/v)² / 2 — из времени полёта t = x/v.
Единицы: y и x в м, v в м/с, g в м/с², t в с. Эталон v = 10 м/с, y = 5 м, g = 10: t = 1 с, x = 10 м. Удвоение v удваивает x при тех же y и g; удвоение y увеличивает t и x в √2 раз.
Траектория в координатах (x, y): y = −g/(2v²) x² + y_0 — парабола, ветви вниз. Начальный наклон нулевой — касательная горизонтальна в точке вылета.
Время не зависит от v
Два снаряда с одной башни: один выстрелен v = 5 м/с, другой v = 50 м/с — оба достигнут земли за t = √(2y/g). Быстрый улетит дальше (x больше), но не раньше. Это следствие независимости вертикали и горизонтали в классической механике.
Мысленный эксперимент: шарик и лист бумаги с одной высоты — в вакууме t одинаково; с сопротивлением воздуха лист падает иначе, модель ломается. Школьная формула — вакуум.
Контраст: при броске под углом с земли T растёт с v₀ sin θ — вертикальная составляющая есть с первой секунды. Здесь v_y0 = 0, время задаёт только y и g.
Горизонтальная скорость не меняется, пока нет трения. Ускорение только по вертикали −g. На вершине «нет» — траектория монотонно идёт вниз после старта.
Не R = v₀² sin(2θ)/g
Формула дальности наклонного броска с земли использует sin(2θ) и предполагает симметричную траекторию на одном уровне. При θ = 0° с земли R = 0 — нет полёта. Горизонтальный бросок с высоты — другая геометрия: старт на y > 0, финиш на y = 0, угол 0°.
Максимальная высота H для наклонного броска с земли H = v₀² sin²θ/(2g). Здесь начальная высота уже y; «потолок» не выше y, если не подбрасывали вверх. H из той формулы не подставляют вместо y.
Если ошибочно взять v₀ = v и θ = 0 в R = v₀² sin(2θ)/g, получат ноль — бессмысленно для задачи с башни. Правильная дальность x = v √(2y/g).
На большой высоте и малой v траектория всё ещё парабола; x может быть меньше y — «почти вертикальное» падение с боковым толчком.
Не T = 2 v₀ sinθ/g
T = 2 v₀ sin θ / g — полное время «туда-обратно» на одной высоте. Горизонтальный вылет с обрыва — одностороннее падение на y метров, t = √(2y/g), обычно не равно T для какого-либо θ.
Пример контраста: y = 5, g = 10 → t = 1 с. Бросок с земли с v₀ = 10 под 90° даёт T = 2 с — в два раза дольше, хотя оба «про g». Разная постановка границ.
Связь через компоненты: если бы с той же высоты y бросили под углом, вертикаль v₀ sin θ изменила бы t. При θ = 0 с высоты v_y0 = 0 — минимальная вертикальная «задержка» для данной y среди бросков с той же точки без подброса вверх.
v_y² = 2 g h на участке падения: на земле v_y = √(2 g y) — одинаково для любого v_x, если старт горизонтальный с покоя по вертикали.
Как пользоваться
Выберите искомую: x, y, v или t. Для x нужны v, y и g. y — высота сброса, не H вершины наклонного броска.
v может быть нулевым только в пределе «сброс без толчка» — тогда x = 0, чистое падение; для x > 0 нужна положительная v. g = 10 или 9,81 по условию.
После x проверьте t = x/v и сравните с √(2y/g). Энергию на земле оцените через ½ m (v² + v_y²) с v_y = √(2gy).
Обратный ход по y: по отметкам на земле x и известной v находят высоту выступа — задача следствия или криминалистики в учебнике.
Пример v = 10, y = 5
Базовый. v = 10 м/с, y = 5 м, g = 10 м/с² → t = √(2·5/10) = 1 с, x = 10·1 = 10 м. Обратный ход: x = 10, y = 5, g = 10 → v = 10 м/с.
Медленный вылет. v = 3 м/с, y = 5, g = 10 → t = 1 с, x = 3 м. Время как у быстрого; дальность в 10/3 раз меньше.
Выше башня. v = 10, y = 20, g = 10 → t = 2 с, x = 20 м. Высота в 4 раза → t в 2 раза (√4), x тоже в 2 раза при том же v.
Урок. Две монеты с края стола: одну толкнули, вторую сбросили — в идеале удар о пол одновременно (демонстрация независимости). На практике трение и вращение мешают, но порядок t совпадает.
Лаборатория. Фотоэлементы измеряют v на краю; линейка на полу — x. Из y стола вычисляют t и сравнивают с x/v. Погрешность v на 5% сильнее влияет на x, чем g.
Контраст с наклонным. С земли v₀ = 10, θ = 45°, g = 10: R = 10 м, T ≈ 1,41 с. С башни y = 5, v = 10: x = 10 м, t = 1 с — цифры могут совпасть случайно, формулы разные.
Энергия. На земле v_x = 10, v_y = √(2·10·5) = 10 м/с, модуль v_кон ≈ 14,1 м/с. m g y ушла в рост v_y; горизонтальная часть v не менялась.
Ошибка. Подставить y в T = 2 v sin θ/g или искать sin(2θ) — неверная модель. Для θ = 0 с высоты только x = v √(2y/g).
Река. Камень с моста v = 4 м/с, y = 12 м, g = 10: t = √(2,4) ≈ 1,55 с, x ≈ 6,2 м — куда упадёт относительно опоры, не «дальность броска» с пляжа.
Частые вопросы
- Какое время падения при горизонтальном броске с высоты y?
- t = √(2y/g) — как у тела, сброшенного из покоя с той же высоты. Горизонтальная скорость v на t не влияет.
- Как найти дальность x?
- x = v t = v √(2y/g). Чем быстрее вылет вбок, тем дальше приземление при той же высоте.
- Пример v = 10, y = 5, g = 10?
- t = √(2·5/10) = 1 с, x = 10·1 = 10 м. Проверка из задачника.
- Чем отличается от броска под углом с земли?
- Наклонный бросок с одной высоты — дальность R и время T. Здесь угол к горизонту 0°, старт на высоте y.
- Это свободное падение без v?
- Падение из покоя — только вертикаль. Здесь есть горизонтальная v, траектория — парабола, x ненулевой.
- Где хаб кинематики?
- Кинематика: скорость, высота броска, ускорение.
Источники
- Сивухин Д. В. Общий курс физики. Механика.
- Иродов И. Е. Основные законы механики.
- BIPM. The International System of Units (SI).