Вершина траектории
После броска под углом θ к горизонту тело поднимается до максимальной высоты H над уровнем старта, затем опускается. В модели без сопротивления воздуха H = v₀² sin²θ / (2g). Калькулятор находит H или v₀. Раздел: кинематика.
Это не дальность по горизонтали — её считает калькулятор дальности. Не падение из покоя h = g t² / 2 — там v₀ = 0 и нет угла. Не полный путь по дуге, а только вертикальный «потолок».
Фейерверк, мяч, брошенный навесом, расчёт ограждения — когда важно, насколько высоко поднимется снаряд.
H = v₀² sin²θ / (2g)
H = v₀² sin²θ / (2g)
Вертикальная скорость v_y0 = v₀ sin θ обнуляется в вершине. Из v_y² = v_y0² − 2 g H при v_y = 0 получают H = v₀² sin²θ / (2g). Обратный ход по v₀: v₀ = √(2 H g / sin²θ). Угол 0° даёт H = 0 — бросок вдоль земли без подъёма.
Пример v₀ = 10 м/с, θ = 90°, g = 10: sin θ = 1, H = 100/20 = 5 м. При θ = 45°: sin²45° = 1/2, H = 100/(40) = 2,5 м.
Только вертикальная составляющая
Горизонталь v₀ cos θ на H не влияет: вертикаль и горизонталь в классической кинематике независимы. Можно мысленно оставить только v_y = v₀ sin θ и применить v² = 2 g H из покоя наверх с v_y0.
Ускорение вдоль вертикали −g; формула s = v₀ t + a t²/2 с отрицательным a и v₀ = v₀ sin θ даёт тот же H, если знать t до вершины — здесь t не нужен.
Свободное падение с высоты H вниз — обратная задача по времени, не путать с подъёмом до H.
Вертикальный бросок θ = 90°
Чистый подъём вверх: H = v₀² / (2g). v₀ = 10 м/с, g = 10 → H = 5 м. Это предел формулы при sin θ = 1.
Приземление под точкой старта; дальность R = 0 — см. дальность при 90°. Время до вершины t = v₀/g = 1 с в этом примере; полное время в воздухе 2 с.
Сила тяжести F = mg не подставляют в H — используется g. Масса влияет на энергию, не на траекторию в вакууме.
H и дальность R при 45°
При θ = 45° на одном уровне: R = v₀² sin(90°)/g = v₀²/g, H = v₀² sin²45°/(2g) = v₀²/(4g). Отношение H/R = 1/4. Для v₀ = 10, g = 10: R = 10 м, H = 2,5 м.
Углы 30° и 60° дают одинаковую R, но разную H: 60° выше при той же дальности. Выбор угла — компромисс высоты и дальности.
Потенциальная энергия на вершине m g H связана с m g h и законом сохранения энергии, если пренебречь сопротивлением.
Как пользоваться
Выберите H или v₀. Для H нужны v₀, θ и g. Угол — в градусах к горизонту. Масса не входит.
θ = 0° → H = 0; θ = 90° → максимальная H при данной v₀. g ≈ 9,81 или 10 для школьных чисел.
После H сравните с R на странице дальности или оцените работу подъёма через A = m g H.
Примеры 90° и 45°
Вертикально. v₀ = 10 м/с, θ = 90°, g = 10 → H = 5 м. Обратный ход: H = 5, θ = 90°, g = 10 → v₀ = 10 м/с.
Навес. v₀ = 10 м/с, θ = 45°, g = 10 → H = 2,5 м. Та же начальная скорость даёт R = 10 м — в четыре раза дальше, чем высота.
Безопасность. H = 3 м, θ = 60°, g = 10: v₀ = √(2·3·10 / sin²60°) = √(60 / 0,75) ≈ 8,94 м/с. Оценка минимальной скорости для заданного подъёма.
Контраст: падение с 5 м в покое — t = √(2h/g), не бросок вверх с v₀ = 10.
Спорт. Мяч v₀ = 15 м/с под 70°: sin²70° ≈ 0,883, H ≈ 225·0,883/20 ≈ 9,9 м при g = 10. Дальность при том же угле меньше максимума — угол «высокий», не «дальний».
Энергия на вершине. На H вся кинетическая «вертикальная часть» ушла в потенциальную: ½ m v₀² sin²θ = m g H. Проверка для v₀ = 10, θ = 90°, g = 10: 50 Дж на кг = 10·5 — сходится. Полная Eₖ при броске под углом больше, потому что горизонтальная составляющая на вершине не обнуляется.
Урок в классе. Измерили v₀ рогаткой и угол транспортиром; H на стене отметили мелом. Сравните расчёт с линейкой: погрешность угла на 5° заметнее, чем g = 9,81 вместо 10.
Отличие от R. При θ = 45° и v₀ = 10, g = 10: H = 2,5 м, R = 10 м. Задача «как высоко» — эта страница; «куда далеко» — дальность.
Горизонтальный вылет с башни. Если тело уже на высоте и летит только вбок, вертикаль в момент старта может быть нулевой — это не H из этой формулы. Здесь бросок с земли под углом θ.
Работа подъёма против g: A = m g H при медленном подъёме краном; при броске ту же высоту даёт начальная скорость, без расчёта времени полёта.
Угол θ = 0° даёт H = 0: горизонтальный бросок с земли не поднимается вверх. Максимум H при фиксированной v₀ — при θ = 90°, когда вся скорость уходит в вертикаль.
Типичные ошибки
- Брать sin(2θ) вместо sin²θ — это формула дальности.
- Забыть делитель 2g.
- Искать R на этой странице.
- Подставить v₀ cos θ вместо v₀ sin θ.
- Требовать H при θ = 0° больше нуля.
Частые вопросы
- Какая формула максимальной высоты броска?
- H = v₀² sin²θ / (2g). H — наибольшая высота над точкой старта по вертикали.
- Чем отличается от дальности R?
- R = v₀² sin(2θ) / g — горизонталь. Здесь sin²θ и делитель 2g, не sin(2θ).
- Какая H при вертикальном броске?
- θ = 90°: sin θ = 1, H = v₀² / (2g). Та же формула, что подъём по v_y = v₀ без горизонтали.
- При θ = 45° как связаны H и R?
- При одних v₀ и g: R = v₀²/g, H = v₀²/(4g), то есть H = R/4.
- Нужно ли время полёта?
- Нет. H через v₀, θ и g. Время до вершины t = v₀ sin θ / g — отдельный расчёт, не в этом калькуляторе.
- Как связать с энергией?
- На высоте H потенциальная m g H; из кинетической теряется доля ½ m v₀² sin²θ. Раздел энергия.
Источники
- Сивухин Д. В. Общий курс физики. Механика.
- Иродов И. Е. Основные законы механики.
- BIPM. The International System of Units (SI).