Сколько тело в воздухе
Время полёта T — интервал от момента, когда снаряд покидает точку броска на уровне земли, до приземления на той же высоте. В идеальной модели без сопротивления воздуха T = 2 v₀ sin θ / g, где v₀ — модуль начальной скорости, θ — угол к горизонту, g — ускорение свободного падения. Раздел: кинематика.
Страница отвечает на вопрос «сколько секунд в полёте», а не «куда далеко упадёт» и не «как высоко поднимется». Для горизонтальной дальности нужна дальность броска; для вершины траектории — максимальная высота H. Если тело стартовало с выступа и летело только вбок, время падения считают на странице горизонтального броска.
Олимпийский прыжок в длину, фейерверк на ровном поле, мяч, брошенный с трибуны на газон той же высоты — типичные ситуации, где старт и финиш лежат на одной горизонтали. Бросок с насыпи вниз или с ямы вверх этой формулой не описывается: там разные начальная и конечная высоты.
Калькулятор находит T или v₀ при известных θ и g. Угол 0° даёт T = 0 — бросок вдоль земли без подлёта. Угол 90° даёт наибольшее T при фиксированной v₀, потому что вся скорость уходит в вертикаль и траектория дольше всего «раскачивается» вверх-вниз.
T = 2 v₀ sin θ / g
T = 2 v₀ sin θ / g
Вывод идёт через вертикаль: начальная v_y0 = v₀ sin θ, ускорение −g. Время подъёма до вершины t_up = v₀ sin θ / g; спуск симметричен, поэтому полное T = 2 t_up = 2 v₀ sin θ / g. Обратный ход по v₀: v₀ = T g / (2 sin θ). Обратный ход по θ требует arcsin и осторожности с двумя углами — в школьных задачах обычно θ задан явно.
Единицы: v₀ в м/с, g в м/с², T в с. Угол в градусах вводится в калькулятор; в формуле используется sin θ. g ≈ 9,81 м/с² или округление до 10 для проверки в тетради. Связь с равномерно ускоренным движением: по вертикали a = −g на всём участке, пока не учитывают сопротивление.
Пример проверки: v₀ = 10 м/с, θ = 30°, g = 10 м/с². sin 30° = 0,5, T = 2·10·0,5/10 = 1 с. При θ = 90° при тех же числах T = 2·10·1/10 = 2 с — в два раза дольше, чем при 30°, хотя дальность при 30° ненулевая, а при 90° равна нулю.
Вертикальный бросок 90°
При θ = 90° формула упрощается: T = 2 v₀ / g. Это полное время «туда-обратно» для чистого подброса вверх с последующим падением под точку старта. v₀ = 10 м/с, g = 10 → T = 2 с; секунда на подъём, секунда на спуск — симметрия без горизонтали.
Максимальная высота при том же броске H = v₀² / (2g) = 5 м — см. калькулятор высоты. Время до вершины t_H = v₀ / g = 1 с — ровно половина T. Горизонтальная составляющая v₀ cos 90° = 0, поэтому дальность R равна нулю.
Контраст с падением из покоя: если тело просто отпустили с высоты, начальная v_y = 0 и время до земли t = √(2h/g), а не 2 v₀/g. Вертикальный бросок вверх — не то же самое, что сброс вниз: знак начальной скорости меняет задачу.
В лаборатории часто измеряют T хронометром по звуку удара о площадку или по видео. При θ = 90° проще всего согласовать расчёт с опытом: нет параллакса от горизонтального смещения.
Не дальность и не H
Три величины часто путают в одной задаче про бросок, но формулы разные. R = v₀² sin(2θ) / g зависит и от cos θ (через sin 2θ), T зависит только от sin θ. При θ = 45° и v₀ = 10, g = 10: R = 10 м, T = √2 ≈ 1,41 с — дальность большая, время не максимальное; максимум R при 45°, максимум T при 90°.
Высота H = v₀² sin²θ / (2g) — это «потолок», не длительность. Можно подняться высоко при большом θ и при этом провести в воздухе больше секунд, чем при «дальнем» броске под 45°. Для H и R нужны свои страницы; здесь только часы и секунды полёта.
Горизонтальный бросок с башни: угол к горизонту 0°, но старт не на земле. Время падения t = √(2y/g) не содержит v₀ — быстрый и медленный снаряд падают одинаково долго. Это принципиально иной случай, чем T = 2 v₀ sin θ / g на ровной площадке.
Если в условии спрашивают «когда упадёт на склон» или «на другой этаж», одной формулы T недостаточно — нужна геометрия траектории и, возможно, уравнения движения по осям по отдельности.
Подъём и спуск симметричны
При одинаковой начальной и конечной высоте траектория подъёма и спуска — зеркальные по времени, если g постоянно и нет ветра. Половина T тело летит вверх, половину — вниз. На вершине v_y = 0, v_x = v₀ cos θ остаётся неизменной — горизонталь не влияет на T.
Отсюда связь с формулой без времени: по вертикали v_y² = v_y0² − 2 g h. На вершине h = H, v_y = 0 — оттуда же выводят H. T же следует из v_y = v_y0 − g t при v_y = 0 для половины полёта.
Энергетический взгляд: на старте ½ m v₀²; в вершине кинетическая только от v_x, потенциальная m g H. Полное T не требует знать m — траектория в вакууме не зависит от массы. Для работы и Eₖ масса понадобится в разделе энергии.
Сопротивление воздуха ломает симметрию: реальный мяч дольше падает, чем поднимался. Школьная формула — идеальный случай; в олимпиадных оценках иногда явно пишут «пренебречь сопротивлением».
Как пользоваться
Выберите искомую: T или v₀. Для T нужны v₀, θ и g. Угол — в градусах от горизонта. Масса, сила броска и начальная высота над уровнем моря не вводятся: модель «ровное поле, одна высота».
θ = 0° даёт T = 0 — калькулятор может показать ноль или предупреждение; физически это бросок по земле без полёта. θ = 90° — введите 90 для вертикального случая. g возьмите 10 или 9,81 в зависимости от условия задачи.
После T можно вручную проверить дальность R = v₀ cos θ · T — произведение горизонтальной скорости на время; должно совпасть с формулой дальности. Высоту вершины — через H с теми же v₀ и θ.
Обратный ход по v₀ удобен в задачах «с какой скоростью бросили, если хронометр показал T». Убедитесь, что измерение относится к полному полёту до той же высоты, а не только до вершины.
Примеры v₀ = 10 м/с
Вертикально. v₀ = 10 м/с, θ = 90°, g = 10 → T = 2 с. Обратный ход: T = 2, θ = 90°, g = 10 → v₀ = 10 м/с. За 1 с тело достигнет H = 5 м; за 2 с вернётся на землю.
Низкий угол. θ = 30°, те же v₀ и g → T = 1 с. Дальность R = v₀ cos 30° · T = 10 · (√3/2) · 1 ≈ 8,66 м — считайте на странице дальности. Время в два раза короче, чем при 90°, хотя снаряд улетел в сторону.
Сравнение углов. θ = 60°: sin 60° = √3/2, T = 2·10·0,866/10 ≈ 1,73 с. θ = 45°: sin 45° ≈ 0,707, T ≈ 1,41 с. Больше угол — дольше полёт при той же v₀.
Урок в классе. Студенты бросают шарик с одинаковой v₀ под 30° и 60°; хронометр показывает разное T, хотя R для этих углов совпадает (дополнительные углы). Это наглядный контраст: дальность одинакова, время — нет.
Спорт. Мяч v₀ = 15 м/с под 70°: sin 70° ≈ 0,94, g = 10 → T ≈ 2·15·0,94/10 ≈ 2,82 с. Тренер оценивает «окно» для игрока, чтобы поймать мяч — это T, не R.
Ошибочная постановка. «Бросили горизонтально с 5 м» — t = √(2·5/10) = 1 с независимо от v. Путать с T = 2 v₀ sin θ / g нельзя: там нет sin θ при θ = 0 на земле даёт нулевое время.
Связь с g. На Луне g ≈ 1,6 м/с² тот же бросок v₀ = 10, θ = 90° дал бы T = 2·10/1,6 = 12,5 с — полёт драматически длиннее. Формула та же, меняется только g из контекста силы тяжести.
Лаборатория. Пневматическая установка фиксирует v₀; угол задаёт наклон ствола. Сравните T с расчётом; погрешность угла на 2° заметнее, чем g = 9,81 вместо 10.
Частые вопросы
- Какая формула времени полёта при броске на ту же высоту?
- T = 2 v₀ sin θ / g. Время от отрыва от земли до приземления на том же уровне, без сопротивления воздуха.
- Чем отличается от дальности R?
- R = v₀² sin(2θ) / g — горизонталь. Здесь только время T, не метры по оси x.
- Какое T при вертикальном броске вверх?
- θ = 90°: sin θ = 1, T = 2 v₀ / g. Тело поднимается и возвращается под точку старта за то же время.
- Можно ли найти T для броска с башни горизонтально?
- Нет. Горизонтальный вылет с высоты y — другая формула t = √(2y/g). Здесь старт и финиш на одной высоте.
- Зависит ли T от массы тела?
- В вакууме нет. Все тела с одной v₀ и θ имеют одно T. Масса нужна только для энергии и силы тяжести F = mg.
- Где связанные калькуляторы?
- Кинематика: высота, падение, ускорение.
Источники
- Сивухин Д. В. Общий курс физики. Механика.
- Иродов И. Е. Основные законы механики.
- BIPM. The International System of Units (SI).