Дальность по горизонтали
Тело бросают с начальной скоростью v₀ под углом θ к горизонту с той же высоты, где оно приземлится. Без сопротивления воздуха дальность по горизонтали R = v₀² sin(2θ) / g. Калькулятор находит R или v₀ по известным g и углу. Раздел: кинематика.
Это не максимальная высота подъёма H — она на странице высоты броска. Не вертикальное падение h = g t² / 2 из покоя. Не время полёта — его здесь нет в формуле.
Метание диска на ровном поле, выстрел из рогатки на прямой, задача «с какого угла дальше всего» — типичный контекст.
R = v₀² sin(2θ) / g
R = v₀² sin(2θ) / g
Горизонтальная составляющая v₀ cos θ и время полёта через вертикаль дают именно sin(2θ): удвоенный угол под синусом. Обратный ход по v₀: v₀ = √(R g / sin(2θ)). Угол вводите в градусах; sin(2θ) = 0 делает обратный ход невозможным.
Пример v₀ = 10 м/с, θ = 45°, g = 10: sin(90°) = 1, R = 100/10 = 10 м. Проверка размерности: м²/с² делить на м/с² → метры.
Максимум при 45°
sin(2θ) не больше 1. Максимум R = v₀² / g при θ = 45° (2θ = 90°). При v₀ = 20 м/с и g = 10 предельная дальность 40 м на идеальной плоскости.
Угол больше 45° поднимает траекторию выше, но сокращает время над землёй и горизонтальную составляющую — дальность падает. Баланс — ровно 45° для старта и финиша на одном уровне.
На высоте H максимум смещается — здесь уровни равны. С горы дальше летит иной угол; эта страница про симметричный бросок.
Углы 30° и 60°
sin(60°) = sin(120°) = √3/2. Для θ = 30° и θ = 60° sin(2θ) одинаков: оба дают sin(60°). Дальность R одна, высота H и время в воздухе разные: 60° — выше и дольше, 30° — ниже и короче.
Задача «найти θ по дальности» имеет два решения, если R меньше максимума: дополнительные углы. Калькулятор по R и v₀ выдаёт один v₀; угол вы задаёте сами.
Сравните H для тех же v₀ и g на странице высоты: при 45° H = R/4, если R = v₀²/g.
0° и 90° дают R = 0
θ = 0°: sin(0°) = 0, бросок вдоль земли без подъёма — дальность по формуле нулевая (трение и высота старта в реальности изменят картину, модель — нет). θ = 90°: sin(180°) = 0, чисто вертicalный бросок — приземление под точкой старта, R = 0.
Малый угол: R ≈ v₀² sin(2θ)/g ≈ 2 v₀² θ/g в радианах — дальность пропорциональна θ на малых углах. Большой угол близко к 90° — снова R → 0.
Скорость в любой момент — отдельная постановка; энергия разгона — энергия.
Как пользоваться
Выберите R или v₀. Для R нужны v₀, θ и g. Угол — к горизонту в градусах. Масса не входит: траектория в вакууме не зависит от m.
g по умолчанию ≈ 9,81; для примера из учебника часто 10. sin(2θ) = 0 при θ = 0° или 90° — v₀ из R не найти.
После R оцените H на соседней странице или начальную кинетическую энергию ½ m v₀², если нужна m.
Пример v₀ = 10, θ = 45°
v₀ = 10 м/с, θ = 45°, g = 10 м/с² → R = 100·1/10 = 10 м. При том же v₀ максимум и есть 10 м — угол оптимален.
θ = 30°, g = 10: sin(60°) = √3/2 ≈ 0,866, R ≈ 8,66 м — меньше, чем при 45°. θ = 60° — та же R ≈ 8,66 м, но H выше.
Обратный ход: R = 10 м, θ = 45°, g = 10 → v₀ = √(100) = 10 м/с. Спорт: метание с v₀ = 15 м/с, g = 10, 45° → R = 22,5 м — порядок для лёгкого снаряда без ветра.
Сила тяжести mg не подставляют в R — g уже в формуле. Вес тела — F = mg.
Два угла, одна дальность. v₀ = 12 м/с, g = 10, θ = 30°: R = 144·sin(60°)/10 ≈ 12,47 м. Для θ = 60° sin(120°) тот же — R совпадает. Высота при 60° больше: сравните на странице H.
Практика без drag. Студенческая катапульта с v₀ ≈ 8 м/с под 40° на g = 9,81: R ≈ 64·sin(80°)/9,81 ≈ 6,4 м. Ветер и форма снаряда сдвинут точку приземления — формула даёт ориентир для лабораторного отчёта.
Не путать с падением. Камень с обрыва только вниз: h = gt²/2. Бросок под углом — сумма горизонтального и вертикального движения; R зависит от v₀ и θ, не от высоты обрыва, если старт на земле.
Разгон до v₀ по горизонтали перед броском — путь разгона на полосе; здесь v₀ уже задана в момент отрыва от руки или катапульты.
Ускорение вдоль траектории не постоянно — формула R для начально-конечной кинематики на одном уровне. Динамика объясняет, откуда берётся g, но не заменяет sin(2θ).
Для сравнения: при v₀ = 10 и g = 10 дальность 45° равна 10 м; при 30° и 60° — около 8,66 м; при 15° — sin(30°)=0,5, R = 5 м.
Типичные ошибки
- Писать sin θ вместо sin(2θ).
- Искать H на этой странице — нужна формула с sin²θ.
- Забыть, что старт и финиш на одной высоте.
- Делить на sin θ при обратном ходе по v₀.
- Путать с путём s = v₀ t + a t² / 2 вдоль прямой.
Частые вопросы
- Какая формула дальности броска?
- R = v₀² sin(2θ) / g. Старт и приземление на одной высоте, без сопротивления воздуха.
- При каком угле дальность наибольшая?
- При θ = 45°: sin(90°) = 1 — максимум для данной v₀ и g на ровной площадке.
- Почему 30° и 60° дают одну дальность?
- sin(60°) = sin(120°): дополнительные углы с одинаковым sin(2θ). Дальность совпадает, траектория и время полёта — нет.
- Это максимальная высота H?
- Нет. H = v₀² sin²θ / (2g) — высота броска. Здесь только горизонталь R.
- Учитывается ли сопротивление воздуха?
- Нет. Реальный мяч летит ближе и ниже; формула — идеальная кинематика.
- Чем отличается от h = gt² / 2?
- Падение из покоя вниз — свободное падение. Бросок под углом имеет горизонтальную составляющую v₀ cos θ.
Источники
- Сивухин Д. В. Общий курс физики. Механика.
- Иродов И. Е. Основные законы механики.
- BIPM. The International System of Units (SI).