Скорость без времени
Иногда в задаче задан участок длиной s и постоянное ускорение a, а время не спрашивают и не измеряют. Тогда связывают начальную и конечную скорости формулой v² = v₀² + 2 a s. Калькулятор находит v, v₀, a или s по трём известным. Раздел: кинематика.
Это не средняя скорость v = s / t — там нет разгона. Не путь за время t — для t есть s = v₀ t + a t² / 2. Здесь ключ — длина участка и изменение квадрата скорости.
Тормозной путь на шоссе, финальная скорость санок у foot стенки, скорость в конце разгонной полосы — типичные постановки, где t лишнее.
v = √(v₀² + 2 a s)
v = √(v₀² + 2 a s)
Квадрат обеих частей даёт v² = v₀² + 2 a s. Обратный ход по v₀: v₀ = √(v² − 2 a s). По a: a = (v² − v₀²) / (2s). По s: s = (v² − v₀²) / (2a). Знак a согласуйте с осью: разгон вперёд — a > 0, торможение — a < 0.
Корень берёт неотрицательный модуль скорости вдоль выбранной оси. Направление «назад» задаётся отрицательным v₀ или v, если так договорились в условии.
Когда под корнем отрицательно
Выражение v₀² + 2 a s должно быть не меньше нуля. Авто 30 м/с (≈ 108 км/ч) тормозит с a = −5 м/с². Полная остановка на s = 90 м: v₀² + 2as = 900 − 900 = 0, v = 0. Участок 100 м при том же a — под корнем −100, физически тело остановилось раньше.
Калькулятор сообщит об ошибке, если комбинация недостижима. Это не «ошибка формулы», а сигнал: либо s завышен, либо торможение слабее, чем нужно для полной остановки на этом отрезке.
Разгон из покоя: v₀ = 0, a = 5 м/с², s = 10 м → v = √100 = 10 м/с. Проверка энергии: ΔEₖ = m·50 Дж на килограмм — согласуется с работой 5·10 = 50 Дж на килограмм при F = ma.
Связь с работой и энергией
Теорема о кинетической энергии: работа равнодействующей A = ΔEₖ = m(v² − v₀²)/2. Если сила постоянна и F = ma, то A = F s = m a s. Приравнивая, получают v² − v₀² = 2 a s — та же формула без массы.
Страница кинетической энергии считает Eₖ по m и v. Работа A = F s — по силе и пути. Здесь — чистая кинематика: массу можно не знать, если вопрос только о скоростях.
Это не замена энергетического калькулятора: потенциальная энергия на высоте — mgh, сила тяжести — mg. Связь полезна для понимания, не для подмены одной страницы другой.
Не s = v₀ t + at²/2
Если известны v₀, a и t, ищите s на странице пути при ускорении. Если известны v₀, v и s — вы здесь. Перепутать легко в тексте задачи: «за 4 с» намекает на время, «на участке 40 м» — на s.
Свободное падение из покоя на высоте h без t — h = gt²/2 или, через скорость у земли, v = √(2 g h) — частный случай этой формулы при v₀ = 0 и a = g.
Бросок под углом: дальность и высота — дальность и максимальная высота, там sin θ и g, не произвольное a вдоль прямой.
Как пользоваться
Выберите неизвестную: v, v₀, a или s. Введите три остальные. Для v нужны v₀, a и s. Время не вводится — его в формуле нет.
При торможении a отрицательно; s — длина участка по модулю вдоль движения. Если v₀ и v противоположны по знаку, перечитайте выбор оси.
После v можно перейти к ускорению a = (v − v₀)/t, только если t измерили отдельно — эта страница t не даёт.
Примеры торможения и разгона
Разгон с места. v₀ = 0, a = 5 м/с², s = 10 м → v = 10 м/с. Школьный эталон из условия задачи.
Торможение до нуля. v₀ = 20 м/с, v = 0, a = −4 м/с² → s = −v₀²/(2a) = 400/8 = 50 м. Дорожный знак «50 м до светофора» — грубая аналогия порядка величины.
Финальная скорость известна. v₀ = 3 м/с, v = 7 м/с, s = 10 м → a = (49 − 9)/20 = 2 м/с². Обратный ход по a часто встречается в лабораторных отчётах по рельсовому горку.
Контраст с равномерным движением. Тот же s = 10 м за «среднюю» 5 м/с за 2 с на странице скорости не скажет, что v выросла с 0 до 10 — нужна эта формула или путь с t.
Школьная горка. Шарик с v₀ = 0 проезжает s = 2 м и в конце v = 4 м/с. a = (16 − 0)/4 = 4 м/с². Учитель просит проверить без секундомера — только линейка и финальная скорость на фото-воротах.
Лифт. Кабина разгоняется a = 1 м/с² на s = 0,5 м между этажами: v = √1 = 1 м/с на выходе из участка. Время t здесь не задано; если нужно t = 1 с, путь ищут на странице перемещения с t.
Типичные ошибки
- Забыть квадрат v₀ и писать v = v₀ + 2 a s.
- Брать s = v t при нулевом v₀ вместо s = a t² / 2.
- Требовать решение при v₀² + 2 a s меньше нуля.
- Подставить отрицательное s без согласования знака a.
- Путать с дальностью броска R = v₀² sin(2θ)/g.
Частые вопросы
- Какая формула скорости без времени?
- v² = v₀² + 2 a s, или v = √(v₀² + 2 a s). Время t в записи не участвует.
- Когда расчёт невозможен?
- Если v₀² + 2 a s меньше нуля: при сильном торможении тело не доедет до конца участка s с заданным a.
- Чем отличается от пути s = v₀ t + a t² / 2?
- Там нужно время t. Здесь известны v₀, a и длина участка s — путь при ускорении не подставит t за вас.
- Это то же самое, что кинетическая энергия?
- При F = ma работа F s = m a s = ΔEₖ. Физика та же, но здесь ищут v, а не энергию — Eₖ = mv²/2 отдельно.
- Можно ли найти тормозной путь до остановки?
- Да: v = 0, v₀ известна, a отрицательно. s = −v₀² / (2a) по модулю — длина участка до полной остановки.
- Где ещё смотреть кинематику?
- Кинематика и энергия в механике для связи скорости с работой.
Источники
- Сивухин Д. В. Общий курс физики. Механика.
- Иродов И. Е. Основные законы механики.
- BIPM. The International System of Units (SI).