Путь до полной остановки
Тормозной путь s — расстояние, которое тело проходит от момента начала равномерного замедления до полной остановки (конечная скорость ноль). При постоянном модуле замедления a > 0 формула s = v² / (2a), где v — скорость в начале торможения. Раздел: кинематика.
Модель: торможение уже началось, колёса заблокированы или сила постоянна, ускорение на участке не меняется. Не свободное падение — там v₀ = 0 и движение вниз под g. Не разгон с покоя — там v растёт, а здесь падает до нуля.
Автомобиль после нажатия педали, тележка с включённым тормозом на рельсе, hockey puck на льду с известным трением — типичные образы. В задачах ПДД полный остановочный путь часто складывают из реакции и s = v²/(2a); эта страница считает только вторую часть.
Калькулятор находит s, v или a. Время торможения t = v / a не выводится отдельной кнопкой, но легко получить из v = v₀ + a t при v = 0.
s = v² / (2a)
s = v² / (2a)
Вывод из v² = v₀² + 2 a s: положим v₀ = v (скорость до торможения), конечная v = 0, ускорение вдоль движения отрицательное −a_brake. Тогда 0 = v² − 2 a_brake s, откуда s = v² / (2 a_brake). В калькуляторе a — уже положительный модуль замедления, поэтому запись s = v² / (2a).
Обратный ход по v: v = √(2 a s). Обратный ход по a: a = v² / (2s). Единицы: v в м/с, a в м/с², s в м. 90 км/ч ≈ 25 м/с перед подстановкой. a = 0 недопустимо — деление на ноль, бесконечный путь.
Числовой эталон: v = 10 м/с, a = 5 м/с² → s = 100 / 10 = 10 м. За t = v/a = 2 с скорость линейно упадёт до нуля; средняя скорость на участке v/2, s = (v/2)·t = v²/(2a) — согласованность с s = v₀ t + a t²/2 при v₀ = v и отрицательном a.
a — модуль замедления
Вводите a положительным числом: «5 м/с² замедления», не −5. Физически вектор ускорения против скорости, но формула тормозного пути использует модуль. Путаница со знаком — частая ошибка в тетради: в v² = v₀² + 2 a s для торможения a отрицательно, здесь a уже |a|.
Если торможение на 0,3 g, a ≈ 0,3 · 9,81 ≈ 2,94 м/с². На скользком льду a меньше — s при той же v больше. Жёсткое торможение 8 м/с² сокращает путь, но недоступно любой шине на любом покрытии.
Контраст с ускорением при разгоне: там a > 0 вдоль v, s = v₀ t + a t²/2 удлиняет путь. При торможении второе слагаемое «съедает» пройденное расстояние — та же математика, другой знак в полной SUVAT.
Переменное a (ABS, прогрессирующее торможение) — модель приближённая; для оценки берут средний a или измеренный a на участке.
Не время реакции водителя
До начала торможения автомобиль ещё t_реact секунд едет с прежней v. За это время проходит s_реact = v · t_реact — путь «реакции». Полный остановочный путь s_полн = v · t_реact + v²/(2a). Калькулятор на этой странице даёт только v²/(2a).
Пример: v = 20 м/с, t_реact = 0,8 с, a = 4 м/с². s_реact = 16 м; s_торм = 400/8 = 50 м; всего 66 м. Если забыть 16 м, ответ занизят — типичная ошибка в задачах про водителя.
Не путать с v = s/t на всём участке: средняя скорость на торможении v/2, не начальная v. Для реакции v постоянна, для торможения — нет.
Дистанция «два секунды» в правилах — другая эвристика (зазор по времени), не подстановка в s = v²/(2a).
Связь с работой и v²
Кинетическая энергия ½ m v² на старте торможения полностью «съедается» работой силы против движения: A = F s = ½ m v² при постоянном F. Отсюда s = v²/(2a), если a = F/m. Связь с работой A = F s и Eₖ = mv²/2 — энергетический взгляд на тот же s.
Сила трения F = μ N на горизонтали даёт a = F/m = μ g; подставив в s = v²/(2a), получают оценку пути на асфальте. Масса не исчезает из физики, но в чистой кинематической формуле s = v²/(2a) m не входит — как и в падении g одинаково для всех тел.
Потенциальная энергия на горизонтальном торможении не меняется; на уклоне вверх торможение усиливается за счёт компоненты g — тогда a в задаче уже «эффективное» замедление, не только трение.
Два автомобиля с v = 10 и a = 5 и v = 20, a = 10 дают одинаковый s = 10 м: удвоение v компенсируется удвоением a. Без удвоения a путь растёт как квадрат скорости — главный урок безопасности.
Как пользоваться
Выберите искомую: s, v или a. Для s нужны v и положительное a. v — скорость в момент начала торможения, не средняя на участке.
a = 0 нельзя. Очень малое a даёт большой s — ожидаемо для льда. Единицы согласуйте: м/с и м/с² → s в метрах.
После s при необходимости найдите t = v/a и проверьте через s = v t − a t²/2 с v₀ = v (формула торможения с положительным a как модулем).
Обратный ход по v: «какой была скорость, если след 15 м при a = 3» → v = √(2·3·15) ≈ 9,49 м/с. Обратный ход по a: из v и s находят требуемое замедление для проектирования тормозов.
Пример v = 10, a = 5
Базовый. v = 10 м/с, a = 5 м/с² → s = 100/10 = 10 м. t = 2 с. График v(t) — прямая от 10 до 0.
Обратный ход по v. s = 10 м, a = 5 → v = √(100) = 10 м/с. Проверка симметрична.
Обратный ход по a. v = 10, s = 10 → a = 100/20 = 5 м/с² — как в тесте калькулятора.
Удвоение скорости. v = 20 м/с при том же a = 5 → s = 400/10 = 40 м — в четыре раза длиннее, не в два: s ∝ v².
С реакцией. v = 10, t_реact = 0,5 с, a = 5: s_реact = 5 м, s_торм = 10 м, всего 15 м до полной остановки.
Лаборатория. Тележка с датчиком: измерили v до тормоза и s по линейке; a = v²/(2s) обратным ходом. Сравните с a из силы трения и массы.
Контраст с падением. Падение с 5 м даёт v ≈ 10 м/с вниз в конце, но это не тормозной путь до нуля по горизонтали — другая граничная задача.
Школьная задача. Поезд начинает тормозить a = 0,5 м/с² с 25 м/с: s = 625/1 = 625 м — сотни метров пути; время t = 50 с. Масштаб меняется быстро из-за v².
Лёд против асфальта. v = 15 м/с, на асфальте a = 6 → s = 18,75 м; на льду a = 1,5 → s = 75 м — та же начальная скорость, четырехкратный путь при четырёхкратном слабее a.
Частые вопросы
- Какая формула тормозного пути?
- s = v² / (2a), где v — скорость в начале торможения, a — положительный модуль замедления в м/с².
- Почему a вводят положительным?
- В калькуляторе a — величина замедления. В формуле v² = v₀² + 2 a s при торможении a отрицательно, но здесь берут модуль.
- Входит ли время реакции водителя?
- Нет. Путь за время реакции s_реак = v · t_реак считают отдельно и складывают с s = v²/(2a).
- Это свободное падение?
- Нет. Падение из покоя h = g t²/2 — другая постановка. Здесь горизонтальное торможение до v = 0.
- Как связано с v² = v₀² + 2 a s?
- При v = 0 и v₀ = v получают 0 = v² + 2 a s с отрицательным a, то есть s = v²/(2|a|). См. скорость без времени.
- Откуда берётся a при торможении автомобиля?
- Из силы трения и массы: замедление связано с силой трения и динамикой.
Источники
- Сивухин Д. В. Общий курс физики. Механика.
- Иродов И. Е. Основные законы механики.
- BIPM. The International System of Units (SI).