Работа расширения при постоянной температуре
Идеальный газ, T постоянна: W = n R T ln(V₂/V₁). Отношение объёмов безразмерное, единицы V₁ и V₂ должны совпадать. Раздел: термодинамика.
Контроль: n = R = T = 1, V₂/V₁ = e → W = 1 Дж. Те же данные при обмене объёмов → −1 Дж. Равные объёмы → 0.
Родитель физика. Объёмы и n, T строго больше нуля.
W = n R T ln(V₂ / V₁)
W = n R T ln(V₂ / V₁)
Обратный ход к n, T, V₂, V₁. R по умолчанию 8,314462618 Дж/(моль·К), в учебных тестах часто R = 1.
Не pΔV изобары и не Fs
Не работа постоянного давления p(V₂ − V₁). Не F s точки. Не p₁V₁ = p₂V₂ само по себе: Бойль связывает состояния, не интегрирует p dV. Не mcΔT — при изотерме ΔT = 0, Q всё же есть.
Как пользоваться
Пять полей плюс R. Литра к литру, метры кубические к метрам. Смешение л и м³ в отношении испортит ln. T в кельвинах.
Примеры
1. Натуральный логарифм. V₂/V₁ = e, nRT = 1 → 1 Дж.
2. Количество. W = 1 при тех же T, R, объёмах → n = 1 моль.
3. Конечный объём. W = 1, V₁ = 1 → V₂ = e.
4. Ноль. V₂ = V₁ → W = 0.
5. Сжатие. Объёмы наоборот → −1 Дж. Нулевой V₁ нельзя.
Ещё задачи
Удвоение объёма: ln 2 ≈ 0,693, W = 0,693 nRT. Не «в два раза nRT».
Связь с ΔU = 0: Q = W на этой изотерме.
Не кладите °C в T.
Одна размерность работы: джоуль.
Бойль: pV = const при той же T, можно заменить ln(V₂/V₁) на ln(p₁/p₂).
Два моля при тех же T и отношении объёмов — удвоенная работа.
Вакуум V₁ = 0 страница отвергает: логарифм не определён, и идеальный газ так не стартует.
R в л·атм: переведите работу в джоули или смените единицу R; отношение V всё равно безразмерное.
Логарифм объёмов
Чертёж: изотерма на p–V, площадь под кривой — работа.
Памятка: ln отношения, не разность объёмов.
Хаб термодинамики рядом с первым законом, чтобы сразу взять Q = W.
Итог: nRT ln, расширение плюс, сжатие минус.
Связь с ΔU = 0
U идеального газа — функция T. Изотерма: ΔU = 0. Первый закон: Q = W. Нагревать «чтобы T не падала» нужно ровно на величину работы расширения.
Родитель физика. Сосед по состоянию: PV = nRT в начале и конце при той же T.
Итог журнала: W = nRT ln(V₂/V₁), не pΔV.
Контроль: 1; 1 моль; e; 0; −1. V = 0 нельзя.
Пример: n = 2, R = 1, T = 1, V₂/V₁ = e → W = 2 Дж.
Не подставляйте ln(V₂ − V₁).
Рабочий пример: 1 моль, 300 К, R = 8,314, удвоение → ≈ 1729 Дж.
Связь с ΔS: ΔS = Q/T = W/T = nR ln(V₂/V₁) на этой обратимой изотерме.
Итог для отчёта: количество вещества, T, отношение объёмов, логарифм.
Финальный якорь: ln e = 1 даёт W = nRT. Сжатие минус.
Добор: не пишите W = nRT (V₂/V₁).
Ещё якорь: V₂ = V₁ → 0, даже если n велико.
Журнал: компрессор учебный сжимает в e раз при T = 300 К, 1 моль, R = 8,314 → W ≈ −2494 Дж (работа над газом в бытовом языке).
Не путайте с макрокинетикой поршня: энергия поршня не в формуле.
Финальный блок: изотерма, ln объёмов, ΔU = 0, не изобара.
Ещё контроль: равные V → ноль; e → nRT.
Почему ln? p = nRT/V, интеграл p dV = nRT ln(V₂/V₁).
Итог абзаца: площадь под гиперболой p(V) при постоянной T.
Связь с mcΔT: ΔT = 0, Q всё равно не ноль — это не противоречие, тепло уходит в работу.
Два последовательных удвоения: ln 4 = 2 ln 2, не сумма «двух nRT» без логарифма.
Финальный добор: nRT ln(V₂/V₁), не pΔV, не Fs, не mcΔT.
Отчёт: «один джоуль» без e и nRT = 1 не проверить.
Стык с Q = W: после W подставьте ΔU = 0.
Не кладите V₂ = 0.
Якорь: 1; 0; −1. Нулевой объём нельзя.
Приложение: пузырь в воде при постоянной T расширяется в 3 раза — ln 3 ≈ 1,099 nRT, не тройной nRT.
Одинаковые литры и миллилитры в разных полях без перевода ломают отношение в 1000 раз по ln.
Повторный расчёт после смены R с 1 на 8,314: умножьте W, объёмы не трогайте.
Полилитровый баллон и кубометр: 1000 л = 1 м³, отношение V₂/V₁ не меняется, если оба поля в одной единице. Смешали — ln врать будет на ln(1000) ≈ 6,9, то есть почти на порядок nRT.
Изотерма и Бойль вместе: зная p₁ и p₂ при той же T, замените ln(V₂/V₁) на ln(p₁/p₂) в тетради; страница просит объёмы, не давления.
Троекратное расширение: ln 3 ≈ 1,0986. При n = 1 моль, R = 8,314 Дж/(моль·К), T = 300 К работа ≈ 2739 Дж. Не «три nRT» = 7483 Дж — типичная подмена логарифма множителем.
Типичные ошибки
- Написать p(V₂ − V₁) при изотерме.
- Взять ln(V₂ − V₁) или V₂/V₁ без ln.
- Смешать литры и кубометры в отношении.
- T в цельсиях.
- Нулевой начальный объём.
Соседи: первый закон, PV = nRT, Бойль, механическая работа, Q = mcΔT.
Итог добора: изотермическая работа идеального газа nRT ln(V₂/V₁), расширение плюс, ΔU = 0, не изобара.
Частые вопросы
- Чему равна работа, если n = R = T = 1 и V₂/V₁ = e?
- ln(e) = 1, поэтому W = 1 Дж.
- Сжатие к меньшему объёму?
- V₂ = 1, V₁ = e при тех же n,R,T = 1 даёт W = −1 Дж: система работу получила.
- Равные объёмы?
- ln(1) = 0, W = 0. Искать n по ненулевой W нельзя: деление на ноль.
- Это pΔV?
- pΔV — изобара, давление постоянно. Здесь p меняется, T нет. Другая формула.
- Где PV = nRT?
- Уравнение состояния задаёт точку. Здесь путь: изотерма, работа вдоль пути.
- Где хаб?
- Термодинамика.
Источники
- Учебная термодинамика: ΔU = Q − W (W — работа системы), η Карно = 1 − Tc/Th, η машины = W/Qh, ΔS = Q/T обратимо, W = nRT ln(V₂/V₁) изотерма идеального газа.
- СИ: джоуль, кельвин. Температуры Карно и энтропии — абсолютные, не °C в поле T.