Разброс выборки с n − 1
Выборочная дисперсия измеряет средний квадрат отклонения от среднего с делением на n − 1. Тест: 1, 2, 3 → 1. Хаб: описательная статистика.
Одно число запрещено: нет степени свободы на оценку среднего и разброса сразу.
s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)
s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)
Обратного хода к ряду нет. Сначала среднее, затем сумма квадратов, затем делитель n − 1.
Не дисперсия на n и не СКО
Не деление на n. Не корень. Не max − min. Не само среднее.
Как пользоваться
Введите ряд из двух и более чисел. Раздел: описательная статистика.
Примеры
Прямая. 1, 2, 3 → s² = 1.
Константа. 2, 2 → 0.
Запрет. одно число.
Ещё задачи
Оценки 4, 4, 5: среднее 13/3, отклонения маленькие, s² меньше, чем у 2, 5, 5.
Два числа 0 и 2: среднее 1, квадраты 1 и 1, сумма 2, n − 1 = 1, s² = 2. Совокупность дала бы 1.
Лабораторные массы 10,0; 10,1; 9,9. Дисперсия мала, размах 0,2.
Не берите корень на этой странице, если просили СКО.
Не делите на n, если в задачнике написано «исправленная» или «выборочная».
Связь с z: σ в знаменателе z часто как раз s, но z — другая страница со скалярами.
Выброс 100 в ряду 1, 2, 3 сильно раздует s², медиану почти нет.
Нули законны: 0, 0, 4.
Не используйте как юридическую «нестабильность процесса» без модели.
Итог: среднее, квадраты, n − 1, без корня.
Школа: почему знаменатель n − 1
Среднее по выборке уже использовало одну связь между числами. Остаётся n − 1 свободных отклонений. Деление на n − 1 делает оценку дисперсии совокупности несмещённой в простой модели НОР. Это учебная мотивировка, не доказательство теоремы.
Если дан полный перечень генеральной совокупности, делитель n — соседняя страница. Путать их — типичная ошибка ЕГЭ-уровня «все данные» против «выборка».
Чертёж: точки, горизонталь среднего, вертикальные отрезки отклонений, квадраты как площади. Сумма площадей / (n − 1).
Константа: все отклонения нули, дисперсия нуль. Размах тоже нуль. СКО нуль.
Размерность: квадрат единиц исходного ряда. Поэтому «дисперсия в тех же единицах, что рост» — ошибка; для тех же единиц берут СКО.
Связь с средним: без x̄ нет s². Среднее считается внутри, отдельное поле не нужно.
Лабораторный отчёт: выпишите x̄, каждое (xᵢ − x̄)², сумму, n − 1.
Памятка: выборка → n − 1; совокупность → n; корень → другая страница.
Не группируйте в интервалы с частотами: здесь сырой список равноправных наблюдений.
Итог журнала: квадраты отклонений, знаменатель n − 1, не корень, не размах.
Ещё сюжет двух точек: 5 и 9. Среднее 7, квадраты по 4, сумма 8, делим на 1, s² = 8. На n было бы 4.
Ещё сюжет стабильного станка: десять почти равных длин. s² близка к нулю, размах тоже мал — обе меры согласны.
Ещё сюжет выброса: 1, 2, 3, 50. Среднее уезжает, квадрат отклонения 50 огромный, s² не про «типичный» разброс тройки 1–2–3.
Ещё сюжет сравнения знаменателей: один и тот же ряд на двух страницах. Числа s² больше σ², потому что делите на меньшее.
Ещё сюжет отчёта: формула с n − 1, среднее, сумма квадратов, ответ без корня, без вывода о качестве партии.
Формула «на n» и «на n − 1» на калькуляторе Excel тоже расходятся: VAR.S против VAR.P. Эта страница — аналог исправленной выборочной, не VAR.P.
Смешанные единицы в одном ряде (см и мм) ломают квадраты. Переведите всё в одни единицы до ввода, как в геометрической вероятности длины, только здесь не вероятность.
Проверка 1, 2, 3: отклонения −1, 0, 1; квадраты 1, 0, 1; сумма 2; делить на 2, не на 3. Ответ 1. Запомните этот эталон.
Не вычитайте медиану вместо среднего: тогда это не s², а другой разброс вокруг Me, страница его не считает.
Итоговая памятка: x̄ внутри, квадраты, n − 1, без корня, без размаха, без совокупности.
Смещение оценки: для маленьких n разница n и n − 1 заметна. При n = 2 делитель 1, s² совпадает с суммой квадратов. При n = 100 почти всё равно, какой делитель, но условие всё равно читайте.
Не центрируйте ряд медианой: сумма квадратов вокруг Me меньше или равна сумме вокруг среднего только в других неравенствах, и это уже не определение s². Страница всегда вычитает x̄.
Связь с СКО: после s² = 9 соседняя страница на том же ряде даст s = 3. Не извлекайте корень здесь, если в бланке написано «дисперсия».
Вычислительный контроль: сумма отклонений от среднего должна быть около нуля. Если в тетради набежало 0,3, вы ошиблись в x̄, и квадраты поедут.
Отрицательные x законны. Квадрат съедает знак: −4 и 4 относительно нулевого среднего дают одинаковый вклад 16.
Не взвешивайте наблюдения: все строки равноправны. Веса — среднее взвешенное в математике, не эта дисперсия.
Контрольный ряд 10, 10, 10, 10: s² = 0. Если калькулятор дал крошечный хвост из округления, всё равно это нуль модели.
Ещё сюжет двух приборов: один ряд стабилен, другой с выбросом. Сравнивайте s², не размах, если внутренние точки важны.
Типичные ошибки
- Делить на n
- Брать корень
- Одно число
- Путать с размахом
- Ждать те же единицы, что у x
Соседи: СКО, дисперсия совокупности, среднее, z-оценка, размах
Частые вопросы
- Какая формула выборочной дисперсии?
- s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1). Минимум два числа.
- 1, 2, 3?
- x̄ = 2, сумма квадратов 2, делим на 2, s² = 1.
- Почему не n?
- Для выборки несмещённая оценка — n − 1. Делитель n — совокупность.
- Это СКО?
- Нет. СКО — корень. Его считает соседняя страница.
- Все числа равны?
- s² = 0.
- Где хаб?
- Описательная статистика.