Совместный разброс двух рядов
Выборочная ковариация измеряет, как x и y отклоняются вместе: плюс — в одну сторону, минус — в разные. Формула sₓᵧ = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / (n − 1).
Контроль: x = 1; 2; 3, y = 2; 4; 6 → 2. Константа y → 0. Обратные 6; 4; 2 → −2. Раздел: регрессия.
Единицы — произведение единиц x и y. Удвоили y — удвоили ковариацию. r при этом может не измениться.
sₓᵧ с n − 1
sₓᵧ = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / (n − 1)
Поля ковариации и два списка. Только прямой ход. Минимум две пары. Разные длины рядов запрещены.
Не r и не дисперсия одного ряда
Не Пирсон. Не s² и не СКО. Не R².
Не среднее одного списка. Средние входят внутрь, но ответом не являются.
Как пользоваться
Два ряда одной длины. Прочитайте sₓᵧ. Дальше r или наклон — соседние страницы.
Родитель статистика. Описательные меры: медиана и дисперсия.
Примеры
1. Прямая. (1,2), (2,4), (3,6) → 2.
2. Ноль. y константа 3 → 0.
3. Минус. y = 6; 4; 2 → −2.
4. Запрет. по одной точке.
5. Сдвиг. прибавить 10 к y: ковариация та же, средние съехали одинаково в отклонениях.
Ещё задачи
Дисперсия x для (1,2,3) равна 1. Наклон 2 = 2 / 1 = ковариация / sₓ². Согласовано с МНК.
Якорь 2 на учебной тройке. Если вышло 4/3, поделили на n, не на n − 1.
Масштаб: x×10 увеличивает |sₓᵧ| в 10 раз. r останется прежним после нормировки.
После ковариации Пирсон: r. Прогноз: ŷ.
n = 2: знаменатель 1, ковариация равна одному произведению отклонений.
Не сортируйте ряды порознь. Пары должны сохраниться.
Нулевая ковариация не доказывает независимость: та же история, что с r = 0.
Не путайте с дисперсией совокупности: там знаменатель n и один ряд.
Excel COVARIANCE.S — этот знаменатель. COVARIANCE.P делит на n — не эта страница.
Связь cov(x,x) = s². Подайте два одинаковых ряда — получите выборочную дисперсию. Проверка соседа.
Три переменные: ковариационная матрица 3×3 на этой странице не собирается. Только одна пара рядов за раз.
Выброс в одном углу плоскости даёт огромное произведение отклонений и утаскивает sₓᵧ. Смотрите облако, не только модуль.
Школа: знаменатель как у s²
Оценка несмещённая для выборки использует n − 1. Учебник, который пишет /n, имеет в виду генеральную совокупность. Здесь выборка, как на странице s².
Памятка: два ряда, n − 1, знак как у связи, единицы xy.
Контроль 2 при (1,2,3) и (2,4,6).
Итог: один скаляр, два списка, n ≥ 2.
Чертёж: отклонения dx, dy, площадь dx·dy со знаком.
Хаб регрессии отделяет сырой совместный разброс от нормированного r.
Если в тетради ковариация «почти ноль», а облако явно наклонное, проверьте, не вычли ли средние дважды и не перепутали ли пары столбцов.
Масштаб, знак, ноль
Рост и вес: положительная ковариация, единицы см·кг — неудобно читать, поэтому часто переходят к r.
Температура и слой льда: минус. Знак важнее «красивого» модуля без единиц.
Не размах одного ряда.
Якорь 2, 0, −2.
Родитель статистика. Дисперсия: n − 1.
Финансовая «ковариация доходностей» в учебнике портфеля — та же сумма произведений отклонений. Страница не знает валюту и не строит эффективную границу.
Связь с наклоном
m = sₓᵧ / sₓ². Посчитайте ковариацию и дисперсию x, разделите — должен совпасть наклон МНК на тех же рядах.
r = sₓᵧ / (sₓ sᵧ). Три соседа должны сойтись.
Разные длины — отказ до арифметики.
Не центрируйте вручную дважды.
R² из r: r².
Сумма произведений отклонений для учебной тройки равна 4, деление на 2 даёт 2. Запись «/n = 4/3» — другой ключ.
Если в задачнике ковариация без «выборочная», сверьте знаменатель условия. Страница всегда n − 1.
Одинаковый сдвиг обоих рядов ковариацию не меняет. Умножение одного ряда — меняет линейно.
Проверка на себе: дважды подайте ряд (1, 2, 3) как x и как y. Должно выйти 1 — выборочная дисперсия этой тройки. Если вышло 2/3, снова деление на n.
Не складывайте ковариации «как площади» без одной и той же выборки. Разные n не складывают.
Знак минус не значит «ошибка ввода». Обратная связь законна, как температура и слой шубы в учебном примере.
Типичные ошибки
- Делить на n вместо n − 1.
- Спутать с r.
- Подать один ряд как дисперсию и ждать другое имя.
- Разорвать пары.
- Одна точка.
Соседи: Пирсон, выборочная дисперсия, наклон МНК, СКО, среднее.
Итог: два столбца, минус средние, сумма произведений, деление на n − 1.
Частые вопросы
- Как найти выборочную ковариацию?
- sₓᵧ = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / (n − 1). При x = 1; 2; 3 и y = 2; 4; 6 получается 2. Знаменатель n − 1, не n.
- Это корреляция?
- r делит ковариацию на произведение СКО и становится безразмерным. Ковариация в единицах xy.
- Это дисперсия?
- s² — ковариация ряда с самим собой. Здесь два разных ряда.
- Почему не деление на n?
- Страница выборочная, как s² с n − 1. Совокупность с n — другая постановка, сюда не вынесена.
- Связь с наклоном?
- m = sₓᵧ / sₓ² при тех же выборочных оценках. Знаменатель наклона — вариация x, не n − 1 в сумме квадратов.
- Где хаб?
- Регрессия и корреляция и статистика.