Доля объяснённой дисперсии
Коэффициент детерминации R² говорит, какую долю разброса y линейная модель с перехватом объясняет через x. Для одной объясняющей переменной R² = r².
Контроль: r = 0,8 → R² = 0,64; r = −0,5 → 0,25; r = 0 → 0. Раздел: регрессия.
R² не несёт знак связи. «Сильная обратная связь» при r = −0,9 даёт те же 0,81, что и прямая r = 0,9.
R² = r²
R² = r²
Поля R² и r. r от −1 до 1. Обратного хода к r нет: квадрат теряет знак. |r| > 1 страница не принимает.
Не сам r и не наклон
Не r: тот со знаком. Не наклон. Не проценты от числа без модели.
Не скорректированный R²_adj и не множественный коэффициент при нескольких x. Одна переменная, простой квадрат.
Как пользоваться
Введите r, оставьте R² пустым. Если r ещё нет, сначала Пирсон по рядам.
Родитель статистика. Прогноз по уже найденным m, b: ŷ.
Примеры
1. Прямая. r = 0,8 → 0,64.
2. Обратная. r = −0,5 → 0,25.
3. Нет связи. r = 0 → 0.
4. Идеал. r = ±1 → 1.
5. Запрет. r = 1,2.
Ещё задачи
«Объяснено 64 %» при парной регрессии значит R² = 0,64, |r| = 0,8. Не пишите r = 0,64.
Якорь 0,64 при восьми десятых. Если вышло 0,8, забыли квадрат.
r = −0,2 → R² = 0,04. Слабая доля, хотя «минус» звучит драматично.
После R² наклон всё ещё нужен, чтобы прогнозировать: m и ŷ.
Не переводите R² в процентные пункты через п.п.: это доля, её умножают на 100 для речи, не для другой формулы.
Множественная регрессия: R² уже не равен квадрату одной корреляции. Страница не для этого.
R² = 1 значит точки на прямой (при наличии перехвата и вариации x). R² = 0 — горизонталь по среднему y не хуже модели, линейной связи нет.
Сравнение двух моделей только по R² без числа параметров — ловушка. Здесь одна простая модель.
Не путайте с CV = s/x̄: тот про разброс одного ряда, не про качество прямой.
Ковариация не равна R². Разные размерности.
В презентации «R² = 0,50» значит, что модель объясняет половину разброса, не «угадывает каждый второй случай». Это про дисперсию, не про долю верных прогнозов классификации.
Добавление бесполезного x в множественной модели поднимает R² почти всегда. Здесь x один, ловушки нет, но привычка «гнать R² вверх» с этой страницы не переносится.
Школа: квадрат стирает знак
r² всегда ≥ 0. Поэтому отчёт «R² = 0,81» не говорит, растут ли y вместе с x или падают. Знак смотрите на r или на m.
Памятка: парная регрессия с b, R² = r². Не множественная. Не adj.
Контроль (−0,5)² = 0,25.
Итог: одно поле r, одно R², |r| ≤ 1.
Чертёж: вертикальные остатки малы — R² близок к 1.
Хаб регрессии отделяет долю от коэффициента r.
Сравнение «наш R² выше» без указания, тот же ли y и тот же ли набор точек, — пустой спор. Сначала одинаковая выборка, потом числа.
Отчёт «объяснено 64 %»
Школьный язык: 64 % дисперсии y линейно связаны с x. Остальные 36 % — остатки и всё, чего нет в прямой.
Не юридический и не медицинский вывод. Одно число не доказывает пользу лекарства.
Не z одной точки.
Якорь 0,64 и 0,25.
Родитель статистика. Пирсон: r.
В лабораторной работе «R² высокий, значит измерения точные» — путаница. Высокий R² говорит о линейности облака, не о калибровке прибора в СИ.
Связь с остатками
R² = 1 − SS_res / SS_tot. Для модели с перехватом это то же r². Суммы квадратов страница не просит: меньше полей, меньше путаницы.
Проверка: √0,64 = 0,8 по модулю.
r = 1 и r = −1 дают одно R². Не восстановить знак.
Не подставляйте наклон вместо r.
Прогноз: ŷ = mx + b.
Если в курсовой написано R² = 1,07, это ошибка округления или другая формула. Здесь максимум 1.
Для n = 2 и неконстантных рядов r = ±1, значит R² = 1 всегда. Не хвастайтесь подгонкой двух точек.
Не путайте R² с коэффициентом детерминации в ANOVA многофакторной модели — другие степени свободы.
Школьный перевод в проценты: умножьте R² на 100 и скажите «процентов дисперсии». Не используйте для этого калькулятор процента от числа как будто R² — часть от r.
r = 0,99 и r = 0,90 выглядят «оба высокие», но R² это 0,98 против 0,81. Квадрат увеличивает разрыв у высоких значений.
Не сравнивайте R² моделей с разным y: доли от разных дисперсий не соревнуются напрямую.
Типичные ошибки
- Забыть квадрат и назвать r «долей».
- Восстановить знак r из R².
- Подставить наклон вместо r.
- |r| больше 1.
- Применить формулу к множественной регрессии.
Соседи: корреляция Пирсона, наклон МНК, прогноз, ковариация, проценты.
Частые вопросы
- Как найти коэффициент детерминации?
- Для парной линейной регрессии с перехватом R² = r². При r = 0,8 получите 0,64. R² от 0 до 1.
- Можно найти r по R²?
- Знак неизвестен: r = ±√R². Страница считает только R² по известному r, обратный ход по знаку не делает.
- Откуда взять r?
- Корреляция Пирсона по двум рядам. Сюда переносят уже готовое r.
- Это наклон прямой?
- Нет. m — единицы y на x. R² — доля дисперсии y, безразмерная.
- Формула 1 − SS_res / SS_tot?
- Для этой парной модели с перехватом она совпадает с r². Страница берёт короткий путь R² = r², без сумм квадратов остатков.
- Где хаб?
- Регрессия и корреляция и статистика.