Линейная связь двух рядов
Коэффициент корреляции Пирсона показывает, насколько точки близки к прямой: r ∈ [−1, 1]. Плюс — прямая связь, минус — обратная, ноль — нет линейной связи.
Контроль: x = 1; 2; 3 и y = 2; 4; 6 → r = 1. Обратные y = 6; 4; 2 → r = −1. Раздел: регрессия.
Формула симметрична: r(x,y) = r(y,x). Наклон МНК не симметричен.
r Пирсона
r = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / √[Σ(xᵢ − x̄)² Σ(yᵢ − ȳ)²]
Поля r, списки x и y. Только прямой ход. Нулевая дисперсия x или y запрещена: деление на ноль.
Не наклон и не R²
Не m: удвоили y — r тот же, m удвоился. Не R²: тот неотрицателен.
Не z одной точки. Не проценты «связи на 80 %»: 0,8 это r, не проценты, пока не сказали R².
Как пользоваться
Два ряда одной длины, минимум две пары (лучше больше). Прочитайте r. Дальше R² при необходимости.
Родитель статистика. СКО внутри формулы родственны выборочному СКО.
Примеры
1. Прямая. (1,2), (2,4), (3,6) → 1.
2. Обратная. (1,6), (2,4), (3,2) → −1.
3. Ноль. x = 1; 2; 3, y = 1; 0; 1 → 0.
4. Запрет. все x равны.
5. Сдвиг. прибавить 10 ко всем y: r не меняется.
Ещё задачи
Масштаб: x в мм или в м — r тот же. Это главное отличие от наклона.
Якорь ±1 на трёх точках прямой. Если вышло 2, забыли корень в знаменателе.
Четыре точки почти на прямой дадут |r| близко к 1, не обязательно ровно 1.
Не путайте с ковариацией: та растёт с масштабом.
После r наклон: МНК. Прогноз: ŷ.
Выброс одной пары ломает r сильнее, чем медиану. Робастных коэффициентов здесь нет.
n = 2: |r| всегда 1, если оба ряда не константы. Бессмысленно хвастаться «идеальной корреляцией» двух точек.
Не интерпретируйте r как вероятность. r = 0,3 не «вероятность связи 30 %».
Причинность: лед и утопления коррелируют через жару. Страница считает число, не историю.
Связь с z: r — среднее произведений zₓ zᵧ (с поправкой n vs n−1 в разных учебниках). Здесь классическая сумма отклонений.
Шкала Лайкерта 1–5 как x и y формально считается, но линейность сомнительна. Число будет, смысл — на совести условия.
Не путайте выборочный r с корреляцией генеральной совокупности ρ. Оценка, не параметр мира.
Школа: |r| ≤ 1
Неравенство Коши — Буняковского даёт |числитель| ≤ √(sxx syy), поэтому |r| ≤ 1. Если калькулятор выдал 1,07 — ошибка ввода, не «сверхсвязь».
Памятка: безразмерный, симметричный, линейный.
Контроль r = 1 на пропорциональных рядах с ненулевым наклоном.
Итог: только r из двух списков, константный ряд нельзя.
Чертёж: облако, вытянутое вдоль прямой — большой |r|.
Хаб регрессии ставит r рядом с m, чтобы не склеить.
Учебный приём: нарисуйте y против x. Если облако круглое, |r| мал, даже если «оба ряда растут по номеру наблюдения» по отдельности. Нужна совместная картина, не два тренда времени.
Плюс один, минус один, ноль
Температура Цельсия и Фаренгейта: r = 1, хотя наклон не 1. Линейное перекодирование не портит r.
Парабола y = x² на симметричном x около нуля: r ≈ 0. Линейной связи нет, зависимость есть.
Не среднее геометрическое двух чисел.
Якорь 1, −1 и 0 на учебных тройках выше.
Родитель статистика. Дисперсия ряда: s².
Связь роста родителей и детей — классический пример Гальтона, откуда слово «регрессия»: дети «откатываются» к среднему, хотя r положителен. Страница считает r, не рассказ Гальтона.
Вырожденные ряды
Все y одинаковы — горизонталь, r не определён (нет вариации y). Все x одинаковы — то же для x.
Сверьте длины. Лишний элемент обнулит смысл пар.
Проверка: r(x,x) = 1, если x не константа.
Не подставляйте ранги, если просили Пирсона, не Спирмена.
Наклон: m.
Для тех же (1,2,3) и (2,4,6) ковариация 2, дисперсия x равна 1, СКО x и y равны 1 и 2, r = 2 / (1·2) = 1. Согласовано.
Округление промежуточных средних ломает «почти 1». Калькулятор держит полный ряд.
Не смешивайте r с коэффициентом детерминации в отчёте без квадрата: «объяснено 64 %» это R² при r = 0,8, не сам 0,8.
Перестановка двух средних пар местами r не меняет: это набор пар, не временной ряд с лагом. Лаговая корреляция — другая задача.
Если в условии «связь 0,95» без имени коэффициента, уточните: это r или R². Разница 0,95 против 0,90 по квадрату уже заметна в речи про «проценты объяснённого».
Не подставляйте вероятности pᵢ вместо y: это не математическое ожидание.
Типичные ошибки
- Спутать r с наклоном.
- Назвать r процентами.
- Считать r = 0 независимостью вообще.
- Подать константный ряд.
- Разорвать пары сортировкой.
Соседи: R², наклон МНК, ковариация, прогноз, выборочное СКО.
Частые вопросы
- Как найти корреляцию Пирсона?
- r = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / √[Σ(xᵢ − x̄)² Σ(yᵢ − ȳ)²]. Результат от −1 до 1. Ряды одной длины, дисперсии ненулевые.
- Это наклон регрессии?
- Наклон m в единицах y/x. r безразмерный. При r = ±1 точки на прямой, но m всё равно свой.
- Как получить R²?
- R² = r² для парной регрессии с перехватом. Знак связи остаётся у r.
- r = 0 значит независимость?
- Нет. Нет линейной связи. Квадратичная или иная зависимость может быть. Страница этого не ловит.
- Ковариация?
- sₓᵧ — числитель с делением на n − 1, в единицах xy. r делит ещё на произведение СКО.
- Где хаб?
- Регрессия и корреляция и статистика.