Прямая наименьших квадратов
Обычный метод наименьших квадратов подгоняет прямую y = m x + b так, чтобы сумма квадратов вертикальных остатков была минимальна. Наклон m = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / Σ(xᵢ − x̄)².
Контроль: x = 1; 2; 3 и y = 2; 4; 6 → m = 2, b = 0. Раздел: регрессия и корреляция.
Ряды должны быть одной длины. Страница не взвешивает точки и не считает устойчивые регрессии.
m = Σ(x−x̄)(y−ȳ) / Σ(x−x̄)²
m = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / Σ(xᵢ − x̄)²
Поля m, список x, список y. Обратного хода «восстановить ряды по m» нет. Перехват в шагах: b = ȳ − m x̄.
Не r и не y = kx
Не r Пирсона: тот нормирован. Не y = kx: там нет b. Не решение mx + b = 0.
Не ковариация как ответ: ковариация — числитель с другим знаменателем n − 1, не деление на Σ(x−x̄)².
Как пользоваться
Введите два ряда одной длины. Прочитайте m. b возьмите из шагов, затем прогноз ŷ.
Родитель статистика. Средние внутри формулы — те же, что выборочное среднее.
Примеры
1. Удвоение. (1,2), (2,4), (3,6) → m = 2, b = 0.
2. Совпадение. y = x → m = 1, b = 0.
3. Константа y. y = 3, 3, 3 → m = 0, b = 3.
4. Запрет. все x = 5.
5. Сдвиг. y = 2x + 1 на тех же x даёт m = 2, b = 1 в шагах.
Ещё задачи
Точки (0,1), (1,3), (2,5): m = 2, b = 1. Это ŷ = 2x + 1. Не путайте с r: здесь r тоже 1, но единицы другие.
Якорь 2 на тройке (1,2,3) и (2,4,6). Если вышло 1, поделили ковариацию не на сумму квадратов x.
Связь: m = sₓᵧ / sₓ² при выборочных оценках с одним n − 1. Соседи ковариация и дисперсия.
Выброс по y сильно тянет m. Медиана наклонов — другая модель, не эта страница.
n = 2: прямая проходит обе точки точно. Остатков нет, R² будет 1, если y не константа.
Не сортируйте x и y по отдельности: пары сломаются. Первый x относится к первому y.
После наклона прогноз: ŷ = mx + b. Корреляция: r.
Масштаб x в километрах вместо метров меняет m в 1000 раз. r от единиц не зависит.
Константа y даёт горизонталь: m = 0, b = среднее y. Это не «регрессия сломалась».
Не подставляйте вероятности вместо y. Это не E(X).
Две точки всегда дают прямую. Третья точка «проверяет» её: если она не легла, m сдвинется. Не удаляйте третью «чтобы было красиво», если условие её даёт.
Центрирование только x без y сломает b, хотя m может совпасть. Формула страницы центрирует оба ряда сама.
Школа: перехват в шагах
Система нормальных уравнений сводится к средним: прямая проходит точку (x̄, ȳ). Отсюда b = ȳ − m x̄. Отдельное поле b не нужно, если ряды уже введены.
Памятка: знаменатель — вариация x, не n и не n − 1 в этой записи суммы.
Контроль: y = 2x, три точки → m = 2.
Итог: один целевой наклон, два списка, вырожденные x нельзя.
Чертёж: облако точек, прямая, подпись m.
Хаб регрессии отделяет m от r нарочно.
Рост, время, константа y
Рост от времени: m — см в год, не «сила связи». Сила связи — r.
Одинаковые x: лабораторный повтор при одном уровне фактора. Для наклона нужны разные x.
Не процентное изменение двух чисел. Здесь ряд пар.
Якорь m = 2 на (1,2,3) и (2,4,6).
Родитель статистика. R²: r².
Единицы и вырожденность
Проверка: Σ(x−x̄)² ≠ 0. Сверьте b из шагов: ȳ − m x̄.
Подставьте m и b в ŷ для среднего x: должно выйти ȳ.
Длины рядов сверьте глазами. Лишний хвост y ломает пары.
Не используйте ранги вместо сырых x,y — это уже Спирмен, не эта страница.
Ковариация для числителя с n − 1: sₓᵧ.
Три точки на прямой дают тот же m, что две из них: третья не спорит. Четвёртая вне прямой изменит m.
Не центрируйте ряды вручную «для удобства» и не забудьте: формула уже вычитает средние. Двойное центрирование обнулит всё.
Если x — номера 1…n, наклон всё равно законен. Это не арифметическая прогрессия как ответ, хотя x равномерный.
Три одинаковых интервала по x не обязаны дать «школьный» m = Δy/Δx между крайними, если средняя точка сбита. МНК смотрит все пары сразу.
Не смешивайте календарные даты как текст с числами: переведите день в порядковый номер до ввода.
Контроль единиц: если x в часах, а в тетради думали минуты, m будет в 60 раз меньше. r при этом почти не сдвинется — другой калькулятор.
Типичные ошибки
- Спутать m с r.
- Отсортировать x и y независимо.
- Взять y = kx и забыть свободный член.
- Подать одинаковые x.
- Ждать поле b как обязательный ввод.
Соседи: корреляция Пирсона, R², прогноз ŷ, ковариация, прямая пропорциональность.
Частые вопросы
- Как найти наклон линейной регрессии?
- m = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / Σ(xᵢ − x̄)². Перехват b = ȳ − m x̄ печатают шаги. Ряды x и y одной длины, не меньше двух пар.
- Это корреляция Пирсона?
- r безразмерен. Наклон имеет единицы y на единицу x. При одинаковых СКО они связаны, но это разные запросы.
- Почему нет поля b?
- Страница про наклон. b считают автоматически и показывают в подстановке. Прогноз в точке — сосед ŷ = mx + b.
- Все x одинаковы?
- Знаменатель ноль, наклон не определён. Вертикальный «облако» точек не даёт прямой как функции x.
- Это y = kx?
- Прямая пропорциональность принуждает b = 0. МНК свободный член не обязан быть нулём.
- Где хаб?
- Регрессия и корреляция и статистика.